Questão 14.
Uma particula inicialmente em repouso executa um movimento circular uniformemente variado ao longo de uma circunferência de raio R . Após uma volta completa, no instante
, o módulo de sua velocidade é igual a v. São feitas as seguintes afirmações:
I. No instante
, o módulo da aceleração da particula vale
;
II. O intervalo de tempo decorrido até que a partícula complete a primeira volta é dado por
.
III. No instante
, a partícula terá completado um total de 4 voltas ao longo da circunferência. São verdadeiras, somente:
A ( ) I.
B ( ) lell.
C ( ) lelii.
D ( ) llelll.
E ( ) I, ll e lii.
Uma particula inicialmente em repouso executa um movimento circular uniformemente variado ao longo de uma circunferência de raio R . Após uma volta completa, no instante
I. No instante
II. O intervalo de tempo decorrido até que a partícula complete a primeira volta é dado por
III. No instante
A ( ) I.
B ( ) lell.
C ( ) lelii.
D ( ) llelll.
E ( ) I, ll e lii.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo daqui):
- Uma partícula parte do repouso e descreve movimento circular com aceleração angular constante ao longo de uma circunferência de raio
. - Após uma volta completa, no instante
, o módulo da velocidade da partícula é .
O enunciado pede para verificar a veracidade das três afirmações:
I. No instante , o módulo da aceleração da partícula vale
.
II. O intervalo de tempo até completar a primeira volta é .
III. No instante , a partícula terá completado um total de 4 voltas.
I. No instante
II. O intervalo de tempo até completar a primeira volta é
III. No instante
Passo 2
Vou anotar as fórmulas importantes do movimento circular com aceleração angular constante (úteis para resolver):
- Velocidade angular instantânea quando a aceleração angular
é constante e a partícula parte do repouso: .
Aquié a velocidade angular (rad/s), é a aceleração angular (rad/s²) e o tempo (s). - Deslocamento angular acumulado desde o repouso:
.
Aquiestá em radianos; uma volta corresponde a rad. - Relação entre velocidade linear tangencial
e velocidade angular: . - Aceleração tangencial (responsável por mudar o módulo da velocidade):
. - Aceleração normal (centrípeta), ligada à curvatura:
. - A aceleração total tem módulo
porque e são perpendiculares.
Vou usar essas relações passo a passo.
Passo 3
Relacionar
,
,
e
. Da definição, ao tempo
a velocidade angular é
. Como
, temos:
Isolando
,
Passo 4
Usar a condição de “uma volta completa” em
. Uma volta corresponde a
. Pela fórmula do deslocamento angular:
Substituindo
da etapa anterior
na equação acima:
Agora resolvendo para
:
Portanto a afirmação II está correta.
Passo 5
Calcular a aceleração tangencial no instante
. Usando
e
:
Substituindo
encontramos:
Passo 6
Calcular a aceleração normal no instante
. A fórmula é
Então o módulo da aceleração total é
Isto coincide exatamente com a expressão dada na afirmação I. Portanto a afirmação I está correta.
Passo 7
Contar o número de voltas até
. O deslocamento angular em tempo
é
. Para
:
Mas já sabemos que
(uma volta), então
. Substituindo,
Como cada volta vale
rad, o número de voltas é
. Logo ao tempo
já foram completadas 4 voltas. A afirmação III está correta.
Passo 8
Resumo das verificações: I é verdadeira, II é verdadeira, III é verdadeira. Todas as três afirmações são verdadeiras.
Resposta
E (I, II e III)