Questão 14.
Uma particula inicialmente em repouso executa um movimento circular uniformemente variado ao longo de uma circunferência de raio R . Após uma volta completa, no instante \mathrm{t}=\mathrm{T}, o módulo de sua velocidade é igual a v. São feitas as seguintes afirmações:
I. No instante t=T, o módulo da aceleração da particula vale \sqrt{1+\frac{1}{16 \pi^{2}}} \frac{v^{2}}{R};
II. O intervalo de tempo decorrido até que a partícula complete a primeira volta é dado por T=\frac{4 \pi R}{v}.
III. No instante \mathrm{t}=2 \mathrm{~T}, a partícula terá completado um total de 4 voltas ao longo da circunferência. São verdadeiras, somente:
A ( ) I.
B ( ) lell.
C ( ) lelii.
D ( ) llelll.
E ( ) I, ll e lii.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo daqui):
  • Uma partícula parte do repouso e descreve movimento circular com aceleração angular constante ao longo de uma circunferência de raio \,R.
  • Após uma volta completa, no instante \,t=T, o módulo da velocidade da partícula é \,v.
O enunciado pede para verificar a veracidade das três afirmações:
I. No instante \,t=T, o módulo da aceleração da partícula vale \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{16\pi^{2}}}\,\frac{v^{2}}{R}.
II. O intervalo de tempo até completar a primeira volta é \displaystyle T=\frac{4\pi R}{v}.
III. No instante \,t=2T, a partícula terá completado um total de 4 voltas.

Passo 2

Vou anotar as fórmulas importantes do movimento circular com aceleração angular constante (úteis para resolver):
  • Velocidade angular instantânea quando a aceleração angular \alpha é constante e a partícula parte do repouso: \displaystyle \omega(t)=\alpha\,t.
    Aqui \omega é a velocidade angular (rad/s), \alpha é a aceleração angular (rad/s²) e \,t o tempo (s).
  • Deslocamento angular acumulado desde o repouso: \displaystyle \theta(t)=\tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^{2}.
    Aqui \theta está em radianos; uma volta corresponde a \,2\pi rad.
  • Relação entre velocidade linear tangencial \,v e velocidade angular: \displaystyle v=R\,\omega.
  • Aceleração tangencial (responsável por mudar o módulo da velocidade): \displaystyle a_{t}=R\,\alpha.
  • Aceleração normal (centrípeta), ligada à curvatura: \displaystyle a_{n}=\frac{v^{2}}{R}.
  • A aceleração total tem módulo \displaystyle a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}} porque \,a_{t} e \,a_{n} são perpendiculares.
Vou usar essas relações passo a passo.

Passo 3

Relacionar \alpha, v, R e T. Da definição, ao tempo \,T a velocidade angular é \omega(T)=\alpha T. Como v=R\omega, temos:
v = R\,\omega(T)=R\,\alpha\,T.
Isolando \alpha,
\alpha=\frac{v}{R\,T}.

Passo 4

Usar a condição de “uma volta completa” em \,t=T. Uma volta corresponde a \theta=2\pi. Pela fórmula do deslocamento angular:
2\pi=\theta(T)=\tfrac{1}{2}\,\alpha\,T^{2}.
Substituindo \alpha da etapa anterior \left(\alpha=\dfrac{v}{R\,T}\right) na equação acima:
2\pi=\tfrac{1}{2}\left(\frac{v}{R\,T}\right)T^{2}=\tfrac{1}{2}\,\frac{v\,T}{R}.
Agora resolvendo para T:
\frac{v\,T}{2R}=2\pi \quad\Rightarrow\quad v\,T=4\pi R \quad\Rightarrow\quad T=\frac{4\pi R}{v}.
Portanto a afirmação II está correta.

Passo 5

Calcular a aceleração tangencial no instante \,T. Usando \,a_{t}=R\,\alpha e \alpha=\dfrac{v}{R\,T}:
a_{t}=R\cdot\frac{v}{R\,T}=\frac{v}{T}.
Substituindo T=\dfrac{4\pi R}{v} encontramos:
a_{t}=\frac{v}{\tfrac{4\pi R}{v}}=\frac{v^{2}}{4\pi R}.

Passo 6

Calcular a aceleração normal no instante \,T. A fórmula é
a_{n}=\frac{v^{2}}{R}.
Então o módulo da aceleração total é
a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}} =\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\left(\frac{v^{2}}{4\pi R}\right)^{2}} =\frac{v^{2}}{R}\sqrt{1+\frac{1}{16\pi^{2}}}.
Isto coincide exatamente com a expressão dada na afirmação I. Portanto a afirmação I está correta.

Passo 7

Contar o número de voltas até \,t=2T. O deslocamento angular em tempo \,t é \theta(t)=\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}. Para t=2T:
\theta(2T)=\tfrac{1}{2}\alpha(2T)^{2}=\tfrac{1}{2}\alpha\cdot 4T^{2}=2\alpha T^{2}.
Mas já sabemos que \tfrac{1}{2}\alpha T^{2}=2\pi (uma volta), então \alpha T^{2}=4\pi. Substituindo,
\theta(2T)=2\cdot 4\pi=8\pi\\ \text{rad}.
Como cada volta vale 2\pi rad, o número de voltas é \dfrac{8\pi}{2\pi}=4. Logo ao tempo 2T já foram completadas 4 voltas. A afirmação III está correta.

Passo 8

Resumo das verificações: I é verdadeira, II é verdadeira, III é verdadeira. Todas as três afirmações são verdadeiras.

Resposta

E (I, II e III)

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