1. Um bloco de massa m desliza sobre um plano inclinado de inclinação \theta com a horizontal; o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é \mu_{e}. Qual o ângulo máximo de inclinação para que o bloco não deslize sobre o plano?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado que forma um ângulo \theta com a horizontal.
  • O coeficiente de atrito estático entre bloco e plano é \mu_{e}.
    O enunciado pergunta:
  • Qual é o ângulo máximo \theta para que o bloco não deslize sobre o plano?

Passo 2

Vamos listar as forças que atuam no bloco (isso é essencial antes de começar a calcular):
  • A força peso, que é vertical para baixo e tem intensidade \,mg, onde g é a aceleração da gravidade.
  • A força normal do plano sobre o bloco, denotada por N, perpendicular ao plano.
  • A força de atrito estático, denotada por f_s, que atua tangente ao plano e impede o deslizamento; seu sentido é oposto ao da tendência de movimento (se o bloco tende a deslizar para baixo, o atrito aponta para cima do plano).

Passo 3

Agora vamos decompor o peso em componentes relativas ao plano inclinado — isso é um passo padrão e muito útil.
  • A componente do peso perpendicular ao plano é \,mg\cos\theta.
  • A componente do peso paralela ao plano (tendendo a fazer o bloco escorregar para baixo) é \,mg\sin\theta.
    Explicando por que: ao projetar o vetor peso sobre os eixos perpendicular e paralelo ao plano, usa-se trigonometria do triângulo formado pelas direções; por isso aparecem \cos\theta e \sin\theta.

Passo 4

Condições de equilíbrio (o bloco não desliza, logo está em repouso relativo ao plano):
  • Soma das forças na direção perpendicular ao plano deve ser zero. Assim:
N - mg\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad N = mg\cos\theta.
  • Soma das forças na direção paralela ao plano deve ser zero. Tomando positivo no sentido para baixo ao longo do plano:
mg\sin\theta - f_s = 0 \quad\Rightarrow\quad f_s = mg\sin\theta.
Mas atenção: a força de atrito estático não pode assumir qualquer valor; ela tem um máximo que é
f_{s,\max} = \mu_{e} N.
Para que o bloco permaneça parado, a força requerida f_s (a que iguala mg\sin\theta) deve ser menor ou igual ao máximo disponível:
mg\sin\theta \le f_{s,\max} = \mu_{e} N.

Passo 5

Substituímos N por mg\cos\theta na desigualdade do atrito máximo:
mg\sin\theta \le \mu_{e}\, (mg\cos\theta).
Podemos cancelar mg dos dois lados (pois m>0 e g>0), obtendo
\sin\theta \le \mu_{e}\cos\theta.
Dividindo ambos os lados por \cos\theta (válido para \theta em que \cos\theta>0, ou seja \theta<90^\circ, condição física razoável para um plano inclinado), chegamos a
\tan\theta \le \mu_{e}.

Passo 6

A desigualdade \tan\theta \le \mu_{e} significa que o maior ângulo \theta que ainda satisfaz a condição é aquele em que existe igualdade, ou seja:
\tan\theta_{\max} = \mu_{e}.
Tomando arcotangente em ambos os lados,
\theta_{\max} = \arctan(\mu_{e}).
Comentário prático: se \mu_{e}=0 então \theta_{\max}=0 (qualquer inclinação positiva faz deslizar). Se \mu_{e} é grande, \theta_{\max} aproxima-se de 90^\circ (caso idealizado).

Resposta

\theta_{\max} = \arctan(\mu_{e})

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