- Um bloco de massa
desliza sobre um plano inclinado de inclinação
com a horizontal; o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é
. Qual o ângulo máximo de inclinação para que o bloco não deslize sobre o plano?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um bloco de massa
está sobre um plano inclinado que forma um ângulo com a horizontal. - O coeficiente de atrito estático entre bloco e plano é
.
O enunciado pergunta: - Qual é o ângulo máximo
para que o bloco não deslize sobre o plano?
Passo 2
Vamos listar as forças que atuam no bloco (isso é essencial antes de começar a calcular):
- A força peso, que é vertical para baixo e tem intensidade
, onde é a aceleração da gravidade. - A força normal do plano sobre o bloco, denotada por
, perpendicular ao plano. - A força de atrito estático, denotada por
, que atua tangente ao plano e impede o deslizamento; seu sentido é oposto ao da tendência de movimento (se o bloco tende a deslizar para baixo, o atrito aponta para cima do plano).
Passo 3
Agora vamos decompor o peso em componentes relativas ao plano inclinado — isso é um passo padrão e muito útil.
- A componente do peso perpendicular ao plano é
. - A componente do peso paralela ao plano (tendendo a fazer o bloco escorregar para baixo) é
.
Explicando por que: ao projetar o vetor peso sobre os eixos perpendicular e paralelo ao plano, usa-se trigonometria do triângulo formado pelas direções; por isso apareceme .
Passo 4
Condições de equilíbrio (o bloco não desliza, logo está em repouso relativo ao plano):
- Soma das forças na direção perpendicular ao plano deve ser zero. Assim:
- Soma das forças na direção paralela ao plano deve ser zero. Tomando positivo no sentido para baixo ao longo do plano:
Mas atenção: a força de atrito estático não pode assumir qualquer valor; ela tem um máximo que é
Para que o bloco permaneça parado, a força requerida
(a que iguala
) deve ser menor ou igual ao máximo disponível:
Passo 5
Substituímos
por
na desigualdade do atrito máximo:
Podemos cancelar
dos dois lados (pois
e
), obtendo
Dividindo ambos os lados por
(válido para
em que
, ou seja
, condição física razoável para um plano inclinado), chegamos a
Passo 6
A desigualdade
significa que o maior ângulo
que ainda satisfaz a condição é aquele em que existe igualdade, ou seja:
Tomando arcotangente em ambos os lados,
Comentário prático: se
então
(qualquer inclinação positiva faz deslizar). Se
é grande,
aproxima-se de
(caso idealizado).