A força sobre uma massa m na posição x sobre o eixo x é F=-Fo senh(alpha x), onde Fo e alpha são constantes positivas. Determine a energia potencial U(x) e obtenha uma aproximação para U(x) que seja apropriada para pequenas oscilações. Qual é a frequência angular de tais oscilações?

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que temos uma força ao longo do eixo F(x) = -F0,sinh(alpha x), dada por
com e constantes positivas. A tarefa é:
  1. Encontrar a energia potencial que gere essa força.
  2. Para pequenos deslocamentos em torno do ponto de equilíbrio, fazer uma aproximação de .
  3. Calcular a frequência angular dessas pequenas oscilações.
Vai entrar em jogo: a relação , expansão de Taylor (pra aproximar ) e a fórmula de frequência de um oscilador harmônico simples .

Passo 2

Relação fundamental:
F(x) = -dUdx
Então a gente escreve
-dUdx = -F0,sinh(alpha x) longrightarrow dUdx = F0,sinh(alpha x)
Basta integrar em U(x) = integral F0,sinh(alpha x),dx = F0,cosh(alpha x)alpha + C, :
onde é uma constante de integração.

Passo 3

Escolhemos a referência de energia potencial em 0 = U(0) = F01alpha + C Longrightarrow C = -F0alpha , ou seja, boxedU(x) = F0alphal[cosh(alpha x) - 1r] . Como , temos
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Passo 4

Agora, para pequenas oscilações perto de cosh(alpha x) approx 1 + (alpha x)^22 (vamos desprezar termos de ordem (x^4) e maiores) , expandimos U(x) approx F0alphal[1 + tfrac(alpha x)^22 - 1r] = F0alpha,alpha^2 x^22 = F0,alpha2,x^2 em Taylor:
k = F0,alpha
Então
Isso é igual à energia potencial de um molinha com constante elástica

Passo 5

Para um oscilador harmônico simples com omega = raizkm = raizF0,alpham e massa , a frequência angular é

Resposta

Energia potencial exata:
U(x) = F0alphal[cosh(alpha x) - 1r]
Aproximação para pequenas oscilações:
U(x) approx F0,alpha2x^2
Frequência angular das pequenas oscilações:
boxedomega = raizF0,alpham,

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