A força sobre uma massa
na posição
sobre o eixo
é
, onde
e
são constantes positivas. Determine a energia potencial
e obtenha uma aproximação para
que seja apropriada para pequenas oscilações. Qual é a frequência angular de tais oscilações?
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que temos uma força ao longo do eixo
dada por
com
e
constantes positivas. A tarefa é:
- Encontrar a energia potencial
que gere essa força. - Para pequenos deslocamentos em torno do ponto de equilíbrio, fazer uma aproximação de
. - Calcular a frequência angular
dessas pequenas oscilações.
Vai entrar em jogo: a relação
, expansão de Taylor (pra aproximar
) e a fórmula de frequência de um oscilador harmônico simples
.
Passo 2
Relação fundamental:
Então a gente escreve
Basta integrar em
:
onde
é uma constante de integração.
Passo 3
Escolhemos a referência de energia potencial em
, ou seja,
. Como
, temos
Logo
Passo 4
Agora, para pequenas oscilações perto de
, expandimos
em Taylor:
Então
Isso é igual à energia potencial de um molinha
com constante elástica
Passo 5
Para um oscilador harmônico simples com
e massa
, a frequência angular é
Resposta
Energia potencial exata:
Aproximação para pequenas oscilações:
Frequência angular das pequenas oscilações: