(a) Obtenha os coeficientes B1 e B2 da fórmula (II) do Problema 5.5 em termos da posição inicial xo e da velocidade inicial vo em t=0. (b) Se a massa do oscilador for m=0,5 kg e a constante da força for k=50 N / m, qual é a frequência angular omega? Se xo=3,0 m e vo=50 m / s, quais são os valores de B1 e B2? Esboce o gráfico de x(t) para um pequeno número de ciclos. © Qual é o menor tempo para o qual x=0 e para o qual dotx=0?

Passo 1

O exercício quer (a) achar x(t)=B1cos(omega t)+B2sin(omega t) e em
usando e ;
(b) calcular para kg e N/m, depois encontrar e com m e m/s, e esboçar o gráfico de ;
© achar o menor em que e o menor em que .
Conteúdo: movimento harmônico simples, solução de equação diferencial, uso de condições iniciais, trigonometria básica.

Passo 2

(a) Teoria: a equação de um oscilador é
mddot x+kx=0Longrightarrowomega=raiztfrackm,
e a solução geral é
x(t)=B1cos(omega t)+B2sin(omega t)
Em x(0)=B1=x0, dot x(t)=-B1omegasin(omega t)+B2omegacos(omega t) :
dot x(0)=B2,omega=v0 Longrightarrow B2=v0omega

Passo 3

(b) Primeiro B1=x0=3,0e B2=v0omega=5010=5,0
Então
x(t)=3cos(10t)+5sin(10t)
Logo
Período s.
Esboço: função senoidal com amplitude m, começa em , sobe até pico, cruza zero em s etc.

Passo 4

© Para 3cos(10t)+5sin(10t)=0 Longrightarrow tan(10t)=-tfrac35 :
tx=0=pi-arctan(3/5)10approx0,26 s
a menor solução positiva vem de
dot x=-30sin(10t)+50cos(10t)=0 Longrightarrow tan(10t)=tfrac5030=tfrac53, ,
10t=arctan(5/3) Longrightarrow tdot x=0=arctan(5/3)10approx0,103 s
Para :

Resposta

(a) , .
(b) rad/s; ; ;
, s.
© Primeiro zero de em s; primeiro zero de em s.

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