Uma massa, pendurada em uma das extremidades de um cordão, está oscilando com frequência angular omega. Em t=0, sua posição é x0>0 e damos a ela um impulso de modo que ela se move de volta na direção da origem e executa um movimento harmônico simples com amplitude 2 x0. Determine sua posição como uma função do tempo de acordo com a fórmula (III) do Problema 5.5.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma massa num pêndulo (ou cordão) fazendo movimento harmônico simples (MHS) com freqüência angular omega. Em t=0 ela tá em x(0)=x0>0, e a gente dá um empurrãozinho pra ela voltar em direção à origem, de forma que a amplitude passe a ser 2x0.
Conteúdo: MHS, equação geral x(t)=Acos(omega t+varphi) (fórmula III do Problema 5.5) e condições iniciais. Vamos precisar usar as condições em t=0 pra achar A e varphi.

Passo 2

Na teoria de MHS, a solução geral é
x(t)=Acosl(omega t+varphir),,tagIII
onde A é a amplitude e varphi a fase inicial.
Aqui já sabemos que A=2x0. Então fica:
x(t)=2x0cos(omega t+varphi),
Agora aplicamos a condição x(0)=x0:
x(0)=2x0cosvarphi = x0 longrightarrow cosvarphi = x02x0 = tfrac12 ;Longrightarrow; varphi = pm tfracpi3,

Passo 3

Falta escolher o sinal da fase usando a velocidade inicial. Na MHS,
v(t)=dot x(t) = -A,omegasin(omega t+varphi),
Em t=0:
v(0) = -2x0,omegasinvarphi,
A ideia é que o empurrão faz a massa ir “de volta” (velocidade negativa, já que x é positivo). Ou seja, v(0)<0. Então:
-2x0,omegasinvarphi < 0 ;Longrightarrow; sinvarphi > 0 ;Longrightarrow; varphi = +tfracpi3,,
porque sin(pi/3)=raiz3/2>0 e sin(-pi/3)<0.

Passo 4

Substituindo varphi=pi/3 em x(t)=2x0cos(omega t+varphi), a solução final fica pronta.

Resposta

boxedx(t)=2x0cos!l(omega t+tfracpi3r),

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