(a) Considere um carrinho preso a uma mola que é criticamente amortecida. No instante t=0, o carrinho está parado na posição de equilíbrio e é impulsionado na direção positiva com velocidade v0. Determine a posição x(t) para todos os tempos subsequentes e esboce o gráfico de sua resposta. (b) Faça o mesmo para o caso em que ela é largada do repouso em x=x0. Nesse último caso, quão distante está o carrinho do equilíbrio depois de um intervalo de tempo igual a tau0=2 pi / omega0, que corresponde ao período na ausência de qualquer amortecimento?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente estudar um carrinho preso a uma mola com amortecimento crítico. Isso cai em Dinâmica (ou Oscilações Amortecidas). A equação de movimento é
mddot x + cdot x + kx = 0
e “crítico” significa c^2 = 4mk. A gente vai usar teoria de EDOs de 2º ordem com raízes duplas e impor condições iniciais para achar x(t).

Passo 2

Resolvendo a EDO para amortecimento crítico:
  1. A equação característica é m r^2 + c r + k = 0 com c=2raizmk.
  2. Isso dá raízes duplas r = -omega0, onde omega0 = raizk/m.
  3. A solução geral é
x(t) = (A + B,t),e^-omega0 t
Agora item (a): no t=0 o carrinho está em x(0)=0 e recebe velocidade dot x(0)=v0.
- De x(0)=0 vem A=0.
- Da derivada dot x(t)=B,e^-omega0 t -omega0(A+B t)e^-omega0 t, em t=0 temos dot x(0)=B - omega0A = B = v0.
Logo
boxedxrm (a)(t) = v0,t,e^-omega0 t,
Gráfico qualitativo: parte de zero, sobe até um pico em t=1/omega0 e depois decai exponencialmente sem oscilar.

Passo 3

Agora o item (b): largamos do repouso em x(0)=x0 e dot x(0)=0.
  • De x(0)=x0 vem A = x0.
  • De dot x(0)=0 vem B -omega0 A = 0;Rightarrow;B = omega0 x0.
    Então
boxedxrm (b)(t) = l(x0 + omega0 x0,tr)e^-omega0 t = x0,(1+omega0 t),e^-omega0 t,
O gráfico aqui sai de x0 e decai suavemente pra zero, sem oscilar.

Passo 4

Faltou achar, no caso (b), quão longe do equilíbrio o carrinho está em t=tau0 = 2pi/omega0. Basta pôr:
$$x(\tau_0) = x_0\bigl(1+\omega_0\tau_0\bigr)e^{-\omega_0\tau_0}
= x_0,(1+2\pi),e^{-2\pi},. $$

Resposta

(a) x(t)=v0,t,e^-omega0 t, gráfico com pico em t=1/omega0 e decaimento sem oscilar.
(b) x(t)=x0(1+omega0 t)e^-omega0 t; depois de tau0=2pi/omega0 ele está a
x(tau0)=x0(1+2pi),e^-2pi
do ponto de equilíbrio.

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