(a) Considere um carrinho preso a uma mola que é criticamente amortecida. No instante
, o carrinho está parado na posição de equilíbrio e é impulsionado na direção positiva com velocidade
. Determine a posição
para todos os tempos subsequentes e esboce o gráfico de sua resposta. (b) Faça o mesmo para o caso em que ela é largada do repouso em
. Nesse último caso, quão distante está o carrinho do equilíbrio depois de um intervalo de tempo igual a
, que corresponde ao período na ausência de qualquer amortecimento?
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra gente estudar um carrinho preso a uma mola com amortecimento crítico. Isso cai em Dinâmica (ou Oscilações Amortecidas). A equação de movimento é
e “crítico” significa
Passo 2
Resolvendo a EDO para amortecimento crítico:
- A equação característica é
com . - Isso dá raízes duplas
, onde . - A solução geral é
Agora item (a): no
- De
- Da derivada
Logo
Gráfico qualitativo: parte de zero, sobe até um pico em
e depois decai exponencialmente sem oscilar.
Passo 3
Agora o item (b): largamos do repouso em
e
.
- De
vem . - De
vem .
Então
O gráfico aqui sai de
Passo 4
Faltou achar, no caso (b), quão longe do equilíbrio o carrinho está em
. Basta pôr:
$$x(\tau_0) = x_0\bigl(1+\omega_0\tau_0\bigr)e^{-\omega_0\tau_0}
= x_0,(1+2\pi),e^{-2\pi},. $$
Resposta
(a)
, gráfico com pico em
e decaimento sem oscilar.
(b) ; depois de
ele está a
(b)
do ponto de equilíbrio.