Uma força sobre um objeto é indicada pela equação F(x)=(-4,00 N / m) x+ (2,00 N / m^3) x^3. Qual é a variação de energia potencial no movimento de x= 1,00 m a x = 2,00 m?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação para a força que age sobre um objeto em função da posição $ F(x) = (-4,00 , N/m)x + (2,00 , N/m3)x3 $. A gente precisa descobrir quanto a energia potencial muda quando o objeto se move de $ x = 1,00 , m $ para $ x = 2,00 , m $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e integração, que fazem parte da física mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial $ U(x) $ está relacionada à força pela equação $ F(x) = -\frac{dU}{dx} $. Isso significa que para encontrar a variação da energia potencial, a gente precisa integrar a força em relação à posição.

Passo 3

Então, a variação de energia potencial $ \Delta U $ quando o objeto se move de $ x_1 $ para $ x_2 $ é dada por:
De

Passo 4

Vamos substituir a expressão da força na integral:
De

Passo 5

Distribuindo o sinal negativo na integral:
De

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral (-4x) , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2
Segunda integral:
integral 2x^3 , dx = 2 cdot x^44 = 12x^4

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão de $ \Delta U $:
De

Passo 8

Calculando para $ x = 2 $:
x = 2
Calculando para $ x = 1 $:
-2(2)^2 + 12(2)^4 = -2(4) + 12(16) = -8 + 8 = 0

Passo 9

Agora, aplicando os limites na expressão:
De

Resposta

A variação da energia potencial é de -1,5 J.

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