A força de tração (F) de um trator depende da potência § do motor e da velocidade (v) do trator. Determine a relação entre essas grandezas usando análise dimensional.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a força de tração de um trator depende da potência do motor e da velocidade . A matéria aqui é análise dimensional: a gente vai usar as unidades (massas, comprimentos e tempos) de cada grandeza pra descobrir como elas se relacionam. Então, nos preparamos para:
  • Anotar as dimensões de , e .
  • Fazer a hipótese de que varia como .
  • Igualar as dimensões pra achar os expoentes e .

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as dimensões (entre colchetes vamos pôr pra massa, pra comprimento e pra tempo):
  • Força : [F] = (pela Segunda Lei de Newton).
  • Potência : [P] = (energia por tempo, e energia é ).
  • Velocidade : [v] = .

Passo 3

Agora supomos que
F propto P^a,v^b
Isso quer dizer que, em termos de dimensões,
[F] = [P]^a,[v]^b
Substituindo:
M,L,T^-2 = (M,L^2,T^-3)^a,(L,T^-1)^b = M^a,L^2a,T^-3a;times;L^b,T^-b = M^a,L^2a+b,T^-3a-b

Passo 4

Agora igualamos os expoentes de F propto P^1,v^-1 ;Longrightarrow; F = k,Pv, , e nos dois lados:
  1. Para : .
  2. Para : .
  3. Para : .
Logo, e , ou seja
onde é um número adimensional (depende de detalhes práticos do trator).

Resposta

boxedF = k,Pv
ou, em forma de proporção,
F propto Pv

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