Uma força variável que atua sobre uma partícula de 0,1 \mathrm{~kg} movendo-se no plano x y é dada por \vec{F}(x, y)=\left(x^{2} \hat{\imath}+y^{2} \hat{\jmath}\right) \mathrm{N}, onde x e y estão em metros. Suponha que, em razão dessa força, a partícula se move da origem, O, ao ponto S, com coordenadas ( 10 \mathrm{~m}, 10 \mathrm{~m} ). As coordenadas do ponto P e Q são, respectivamente. (0 \mathrm{~m}, 10 \mathrm{~m}) e (10 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}). Determine o trabalho realizado pela força conforme a partícula se move através dos seguintes caminhos:
O Q S;

Passo 1

O enunciado dá:
  • Massa da partícula: 0,1\\ \mathrm{kg} (informação fornecida, mas não necessária para o cálculo do trabalho).
  • Campo de força: \vec{F}(x,y)=\left(x^{2}\,\hat{\imath}+y^{2}\,\hat{\jmath}\right)\\ \mathrm{N}, com x e y em metros.
  • Pontos no plano:
    • Origem O=(0,0).
    • Q=(10,0).
    • S=(10,10).
  • Caminho pedido: O\to Q\to S (ou seja, primeiro da origem até Q ao longo do eixo x, depois de Q até S ao longo do eixo y).
O que o problema pede:
  • Determinar o trabalho realizado por \vec{F} quando a partícula se move ao longo do caminho OQS.

Passo 2

Conceito e fórmula para trabalho de uma força variável:
  • O trabalho realizado por uma força variável \vec{F}(x,y) ao longo de uma curva C é a integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde d\vec{r}=(dx)\,\hat{\imath}+(dy)\,\hat{\jmath}. Em componentes
\vec{F}\cdot d\vec{r}=F_x\,dx+F_y\,dy.
  • Para este problema, F_x(x,y)=x^{2} e F_y(x,y)=y^{2}, então
\vec{F}\cdot d\vec{r}=x^{2}\,dx+y^{2}\,dy.
Mostrar duas abordagens possíveis (vou escolher a mais simples e também demonstrar a verificação direta por segmentos):
  1. Verificar se o campo é conservativo (assim o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, e podemos usar uma função potencial).
  2. Fazer a integral por segmentos parametrizando O\to Q e Q\to S. Vou fazer as duas: primeiro a verificação de conservatividade e achar a função potencial, depois calcular explicitamente por segmentos para “mastigar” como fazer na prova.

Passo 3

Teste de conservatividade (e justificativa do método):
  • Em duas dimensões, um campo \vec{F}=(F_x,F_y) é conservativo em uma região simplesmente conectada se
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=0.
  • Aqui \displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial (y^{2})}{\partial x}=0 e \displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial y}=0. Logo
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=0-0=0.
  • Como o domínio é todo \mathbb{R}^2 (simply connected), o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F} e que o trabalho entre dois pontos A e B é
W=\varphi(B)-\varphi(A).

Passo 4

Encontrar a função potencial \varphi(x,y):
  • Queremos \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x^{2} e \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y}=y^{2}.
  • Integramos a primeira igualdade em relação a x:
\varphi(x,y)=\int x^{2}\,dx=\frac{1}{3}x^{3}+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração dependente de y.
  • Diferenciamos essa expressão em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=g'(y)
e isso deve ser igual a y^{2}. Então g'(y)=y^{2}, logo
g(y)=\int y^{2}\,dy=\frac{1}{3}y^{3}+C.
  • Assim uma função potencial válida (podemos escolher C=0) é
\varphi(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}y^{3}=\frac{1}{3}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr).

Passo 5

Calcular o trabalho usando a função potencial (método mais rápido):
  • Trabalho entre O=(0,0) e S=(10,10):
W=\varphi(S)-\varphi(O).
  • Calcular \varphi(S):
\varphi(10,10)=\frac{1}{3}\bigl(10^{3}+10^{3}\bigr)=\frac{1}{3}(1000+1000)=\frac{2000}{3}.
  • Calcular \varphi(O):
\varphi(0,0)=\frac{1}{3}(0+0)=0.
  • Portanto
W=\frac{2000}{3}\\ \mathrm{J}.
(Essa é a resposta imediata — como o campo é conservativo, o trabalho depende só de O e S, não do caminho. Ainda assim, vou mostrar o cálculo direto por segmentos para treinar a técnica de integrar por partes do caminho.)

Passo 6

Cálculo direto por segmentos (verificação passo a passo — útil para fazer na prova se não detectar logo a conservatividade):
  • Segmento 1: O(0,0)\to Q(10,0). Parâmetro: x=t,\\ y=0,\\ t\in[0,10]. Então dx=dt,\\ dy=0.
    • No integrando x^{2}\,dx+y^{2}\,dy=t^{2}\,dt+0.
    • Trabalho no segmento 1:
    W_{1}=\int_{0}^{10} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{10}=\frac{1000}{3}.
  • Segmento 2: Q(10,0)\to S(10,10). Parâmetro: x=10,\\ y=t,\\ t\in[0,10]. Então dx=0,\\ dy=dt.
    • No integrando x^{2}\,dx+y^{2}\,dy=0+t^{2}\,dt.
    • Trabalho no segmento 2:
    W_{2}=\int_{0}^{10} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{10}=\frac{1000}{3}.
  • Trabalho total ao longo de O\to Q\to S:
W=W_{1}+W_{2}=\frac{1000}{3}+\frac{1000}{3}=\frac{2000}{3}\\ \mathrm{J},
o que coincide com o resultado obtido pelo potencial.

Resposta

\dfrac{2000}{3}\\ \text{J} \approx 666{,}67\\ \text{J}

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