Uma força variável que atua sobre uma partícula de
movendo-se no plano
é dada por
, onde
e
estão em metros. Suponha que, em razão dessa força, a partícula se move da origem,
, ao ponto
, com coordenadas (
). As coordenadas do ponto
e
são, respectivamente.
e
. Determine o trabalho realizado pela força conforme a partícula se move através dos seguintes caminhos:
;
Passo 1
O enunciado dá:
- Massa da partícula:
(informação fornecida, mas não necessária para o cálculo do trabalho). - Campo de força:
, com e em metros. - Pontos no plano:
- Origem
. -
. -
.
- Origem
- Caminho pedido:
(ou seja, primeiro da origem até ao longo do eixo , depois de até ao longo do eixo ).
O que o problema pede:
- Determinar o trabalho realizado por
quando a partícula se move ao longo do caminho .
Passo 2
Conceito e fórmula para trabalho de uma força variável:
- O trabalho realizado por uma força variável
ao longo de uma curva é a integral de linha
onde
. Em componentes
- Para este problema,
e , então
Mostrar duas abordagens possíveis (vou escolher a mais simples e também demonstrar a verificação direta por segmentos):
- Verificar se o campo é conservativo (assim o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, e podemos usar uma função potencial).
- Fazer a integral por segmentos parametrizando
e . Vou fazer as duas: primeiro a verificação de conservatividade e achar a função potencial, depois calcular explicitamente por segmentos para “mastigar” como fazer na prova.
Passo 3
Teste de conservatividade (e justificativa do método):
- Em duas dimensões, um campo
é conservativo em uma região simplesmente conectada se
- Aqui
e . Logo
- Como o domínio é todo
(simply connected), o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que e que o trabalho entre dois pontos e é
Passo 4
Encontrar a função potencial
:
- Queremos
e . - Integramos a primeira igualdade em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração dependente de
.
- Diferenciamos essa expressão em relação a
:
e isso deve ser igual a
. Então
, logo
- Assim uma função potencial válida (podemos escolher
) é
Passo 5
Calcular o trabalho usando a função potencial (método mais rápido):
- Trabalho entre
e :
- Calcular
:
- Calcular
:
- Portanto
(Essa é a resposta imediata — como o campo é conservativo, o trabalho depende só de
e
, não do caminho. Ainda assim, vou mostrar o cálculo direto por segmentos para treinar a técnica de integrar por partes do caminho.)
Passo 6
Cálculo direto por segmentos (verificação passo a passo — útil para fazer na prova se não detectar logo a conservatividade):
- Segmento 1:
. Parâmetro: . Então . - No integrando
. - Trabalho no segmento 1:
- No integrando
- Segmento 2:
. Parâmetro: . Então . - No integrando
. - Trabalho no segmento 2:
- No integrando
- Trabalho total ao longo de
:
o que coincide com o resultado obtido pelo potencial.