Uma força variável que atua sobre uma partícula de
movendo-se no plano
é dada por
, onde
e
estão em metros. Suponha que, em razão dessa força, a partícula se move da origem,
, ao ponto
, com coordenadas (
). As coordenadas do ponto
e
são, respectivamente.
e
. Determine o trabalho realizado pela força conforme a partícula se move através dos seguintes caminhos:
OPSQO;
OPSQO;
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A massa da partícula:
. - A força variável no plano
: , com e em metros. - Pontos envolvidos:
, , e . - O caminho pedido é o percurso fechado
(denotado OPSQO).
O que o enunciado pede:
- Determinar o trabalho realizado pela força
quando a partícula se move ao longo do caminho OPSQO.
Observação: as coordenadas dos pontos
,
e
foram extraídas do enunciado.
Passo 2
O que é o trabalho num campo de força variável e como calculamos?
- Para uma força dependente da posição, o trabalho ao longo de uma curva
é dado pelo integral de linha
- Aqui
é uma parametrização da curva e . Em termos de componentes, se e , então
- Esse é o conceito básico: somar (integrar) infinitesimais
ao longo do caminho.
Passo 3
Que estratégia usar para calcular
neste problema?
- Uma opção é parametrizar cada trecho do caminho (quatro retas) e calcular quatro integrais de linha. Isso funciona, mas dá trabalho e muita conta.
- Outra opção, mais rápida quando aplicável, é verificar se o campo de força é conservativo (isto é, existe uma função potencial
tal que ). Se o campo for conservativo, o trabalho entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e não do caminho; para um percurso fechado o trabalho será zero. - Vou explicar como testar isso e, se for o caso, encontrar a função potencial. Essa abordagem costuma ser a mais curta e elegante para campos com componentes simples como
e .
Passo 4
Teste de campo conservativo (explicação e cálculo):
- Em duas dimensões, para um campo
definido em uma região simplesmente conexa, uma condição suficiente e necessária para conservatividade é que as derivadas cruzadas coincidam:
- Aqui
e . Calculemos as derivadas:
- Como
, a condição é satisfeita. O campo é conservativo na região toda (o plano inteiro é simplesmente conexo), portanto existe uma função potencial com .
Passo 5
Encontrar a função potencial
(passo-a-passo):
- Queremos
. Integrando em relação a ,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora impomos
. A partir de acima,
- Igualando
e integrando em relação a ,
onde
é constante real.
- Portanto uma função potencial é
- A constante
não altera diferenças de potencial (nem o trabalho), então podemos tomar para simplificar:
Passo 6
Usar a função potencial para calcular o trabalho no caminho OPSQO:
- Para um campo conservativo, o trabalho entre um ponto
e um ponto é
- No caso de um percurso fechado, como
, o ponto inicial e final são o mesmo ponto . Logo o trabalho total ao longo do laço é
- Não precisamos calcular
em cada vértice separadamente porque a diferença entre o início e o fim do laço é zero. Mas, se quiser ver numericamente: e no final também é .
Passo 7
Observações finais e esclarecimentos amigáveis:
- A massa de
foi dada mas não é necessária para calcular o trabalho da força; trabalho é integral de e depende só da força e do caminho (ou dos pontos finais, no caso conservativo). - Se não tivéssemos verificado conservatividade, poderíamos parametrizar cada trecho (retas) e somar quatro integrais; chegaria-se ao mesmo resultado
, mas com muito mais cálculo. - Resumindo: o campo é conservativo, existe potencial
, e o trabalho ao longo do percurso fechado OPSQO é zero. Força-sempre bom respirar fundo — campo conservativo = trabalho do laço = zero. 😃