Uma força variável que atua sobre uma partícula de 0,1 \mathrm{~kg} movendo-se no plano x y é dada por \vec{F}(x, y)=\left(x^{2} \hat{\imath}+y^{2} \hat{\jmath}\right) \mathrm{N}, onde x e y estão em metros. Suponha que, em razão dessa força, a partícula se move da origem, O, ao ponto S, com coordenadas ( 10 \mathrm{~m}, 10 \mathrm{~m} ). As coordenadas do ponto P e Q são, respectivamente. (0 \mathrm{~m}, 10 \mathrm{~m}) e (10 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}). Determine o trabalho realizado pela força conforme a partícula se move através dos seguintes caminhos:
OPSQO;

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A massa da partícula: 0,1\\ \mathrm{kg}.
  • A força variável no plano xy: \vec{F}(x,y)=\left(x^{2}\hat{\imath}+y^{2}\hat{\jmath}\right)\\ \mathrm{N}, com x e y em metros.
  • Pontos envolvidos: O=(0,0), P=(0,10), S=(10,10) e Q=(10,0).
  • O caminho pedido é o percurso fechado O \to P \to S \to Q \to O (denotado OPSQO).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o trabalho realizado pela força \vec{F} quando a partícula se move ao longo do caminho OPSQO.
Observação: as coordenadas dos pontos P, Q e S foram extraídas do enunciado.

Passo 2

O que é o trabalho num campo de força variável e como calculamos?
  • Para uma força dependente da posição, o trabalho ao longo de uma curva C é dado pelo integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • Aqui \vec{r}(t) é uma parametrização da curva e d\vec{r}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}\,dt. Em termos de componentes, se \vec{F}(x,y)=F_x(x,y)\,\hat{\imath}+F_y(x,y)\,\hat{\jmath} e d\vec{r}=dx\,\hat{\imath}+dy\,\hat{\jmath}, então
W=\int_{C} \bigl(F_x(x,y)\,dx + F_y(x,y)\,dy\bigr).
  • Esse é o conceito básico: somar (integrar) infinitesimais \vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo do caminho.

Passo 3

Que estratégia usar para calcular W neste problema?
  • Uma opção é parametrizar cada trecho do caminho (quatro retas) e calcular quatro integrais de linha. Isso funciona, mas dá trabalho e muita conta.
  • Outra opção, mais rápida quando aplicável, é verificar se o campo de força é conservativo (isto é, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \vec{F}=\nabla\varphi). Se o campo for conservativo, o trabalho entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e não do caminho; para um percurso fechado o trabalho será zero.
  • Vou explicar como testar isso e, se for o caso, encontrar a função potencial. Essa abordagem costuma ser a mais curta e elegante para campos com componentes simples como x^{2} e y^{2}.

Passo 4

Teste de campo conservativo (explicação e cálculo):
  • Em duas dimensões, para um campo \vec{F}=(F_x,F_y) definido em uma região simplesmente conexa, uma condição suficiente e necessária para conservatividade é que as derivadas cruzadas coincidam:
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial F_x}{\partial y}.
  • Aqui F_x(x,y)=x^{2} e F_y(x,y)=y^{2}. Calculemos as derivadas:
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)=0, \qquad \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0.
  • Como \dfrac{\partial F_y}{\partial x}=\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=0, a condição é satisfeita. O campo é conservativo na região toda (o plano inteiro é simplesmente conexo), portanto existe uma função potencial \varphi(x,y) com \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) (passo-a-passo):
  • Queremos \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=F_x=x^{2}. Integrando em relação a x,
\varphi(x,y)=\int x^{2}\,dx=\frac{1}{3}x^{3}+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora impomos \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=F_y=y^{2}. A partir de \varphi acima,
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=g'(y).
  • Igualando g'(y)=y^{2} e integrando em relação a y,
g(y)=\int y^{2}\,dy=\frac{1}{3}y^{3}+C,
onde C é constante real.
  • Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}y^{3}+C.
  • A constante C não altera diferenças de potencial (nem o trabalho), então podemos tomar C=0 para simplificar:
\varphi(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}y^{3}.

Passo 6

Usar a função potencial para calcular o trabalho no caminho OPSQO:
  • Para um campo conservativo, o trabalho entre um ponto A e um ponto B é
W_{A\to B}=\varphi(B)-\varphi(A).
  • No caso de um percurso fechado, como O\to P\to S\to Q\to O, o ponto inicial e final são o mesmo ponto O. Logo o trabalho total ao longo do laço é
W_{\text{laço}}=\varphi(O)-\varphi(O)=0.ç
  • Não precisamos calcular \varphi em cada vértice separadamente porque a diferença entre o início e o fim do laço é zero. Mas, se quiser ver numericamente: \varphi(0,0)=\tfrac{1}{3}0^{3}+\tfrac{1}{3}0^{3}=0 e \varphi(0,0) no final também é 0.

Passo 7

Observações finais e esclarecimentos amigáveis:
  • A massa de 0,1\\ \mathrm{kg} foi dada mas não é necessária para calcular o trabalho da força; trabalho é integral de \vec{F}\cdot d\vec{r} e depende só da força e do caminho (ou dos pontos finais, no caso conservativo).
  • Se não tivéssemos verificado conservatividade, poderíamos parametrizar cada trecho (retas) e somar quatro integrais; chegaria-se ao mesmo resultado 0, mas com muito mais cálculo.
  • Resumindo: o campo é conservativo, existe potencial \varphi(x,y)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{1}{3}y^{3}, e o trabalho ao longo do percurso fechado OPSQO é zero. Força-sempre bom respirar fundo — campo conservativo = trabalho do laço = zero. 😃

Resposta

0\\ \mathrm{J}

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