Uma bola de
cai de uma altura de 1 m diretamente no interior de um copo leve (massa desprezível) posicionado sobre uma mola leve vertical inicialmente em posição de equilíbrio. A compressão máxima da mola é de 10 cm . (a) Qual a constante elástica da mola? (b) Se você ignorar a mudança da energia potencial gravitacional da bola durante a compressão de 10 cm , qual será diferença percentual entre a constante elástica calculada para este caso e a resposta obtida na parte (a)? Resp.: (a)
; (b)
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Massa da bola:
. - Altura de queda (até a posição de equilíbrio do copo sobre a mola):
. - Compressão máxima da mola:
. - A mola e o copo são leves (massa desprezível), a bola cai direto no copo e fica sobre ele (processo inelástico, sem perda final de energia além da transferência para a mola).
O enunciado pede:
(a) determinar a constante elásticada mola usando conservação de energia;
(b) recalcularse, na aproximação, ignorarmos a variação da energia potencial gravitacional durante a compressão de , e então dar a diferença percentual entre esse valor aproximado e o valor correto do item (a).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (com explicação didática):
- Conservação de energia mecânica (sem atrito e assumindo que na compressão máxima toda a energia cinética foi transformada em energia elástica):
a energia potencial gravitacional perdida pela bola ao descer desde a posição inicial até a compressão máxima é armazenada na mola como energia elástica. - Importante escolher referência de energia gravitacional com clareza: tomo como referência o ponto de energia potencial nula a posição de máxima compressão. Assim, a bola parte com energia potencial gravitacional
(ela está a acima desse ponto) e ao atingir a compressão máxima essa energia foi convertida em energia elástica da mola . - Portanto, a equação de energia será
Aqui:
é a massa,
a aceleração da gravidade,
a altura inicial até a posição de equilíbrio do copo,
a compressão máxima e
a constante da mola.
Passo 3
Isolando
na equação indicada temos a expressão teórica que usaremos:
Explicando cada termo:
- O numerador
vem da energia gravitacional total convertida em energia elástica. - O denominador
vem da forma da energia elástica .
Passo 4
Agora aplicamos os números. Em exercícios introdutórios costuma-se usar
para facilitar contas; isso é o que farei aqui para concordar com o resultado esperado. Substituindo
,
,
e
:
Faço passo a passo:
logo
Passo 5
Interpretação do resultado do item (a): a constante elástica da mola necessária para armazenar a energia gravitacional da bola que desceu
é
(com
). Se fosse usado
obteríamos
; a diferença é só por causa da escolha numérica de
.
Passo 6
Agora parte (b): aproximação que se pede — ignorar a variação da energia potencial gravitacional durante a compressão de
. Isso significa tomar que toda a energia potencial perdida é apenas
(i.e., não contamos o
adicional), e igualá-la à energia elástica:
Passo 7
Calculo numérico da aproximação (usando novamente
):
Passo 8
Agora a diferença percentual entre o valor aproximado
e o valor correto
da parte (a). Vou calcular a diferença relativa em relação ao valor correto
:
Substituindo números:
Isso significa que ao ignorar a energia potencial durante a compressão cometemos um erro de aproximadamente
no valor de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)