Uma bola de 0,1 \mathrm{~kg} cai de uma altura de 1 m diretamente no interior de um copo leve (massa desprezível) posicionado sobre uma mola leve vertical inicialmente em posição de equilíbrio. A compressão máxima da mola é de 10 cm . (a) Qual a constante elástica da mola? (b) Se você ignorar a mudança da energia potencial gravitacional da bola durante a compressão de 10 cm , qual será diferença percentual entre a constante elástica calculada para este caso e a resposta obtida na parte (a)? Resp.: (a) 220 \mathrm{~N} / \mathrm{m}; (b) \approx 9 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Massa da bola: m=0,1\\ \mathrm{kg}.
  • Altura de queda (até a posição de equilíbrio do copo sobre a mola): h=1\\ \mathrm{m}.
  • Compressão máxima da mola: x=0,1\\ \mathrm{m}.
  • A mola e o copo são leves (massa desprezível), a bola cai direto no copo e fica sobre ele (processo inelástico, sem perda final de energia além da transferência para a mola).
    O enunciado pede:
    (a) determinar a constante elástica k da mola usando conservação de energia;
    (b) recalcular k se, na aproximação, ignorarmos a variação da energia potencial gravitacional durante a compressão de 0,1\\ \mathrm{m}, e então dar a diferença percentual entre esse valor aproximado e o valor correto do item (a).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (com explicação didática):
  • Conservação de energia mecânica (sem atrito e assumindo que na compressão máxima toda a energia cinética foi transformada em energia elástica):
    a energia potencial gravitacional perdida pela bola ao descer desde a posição inicial até a compressão máxima é armazenada na mola como energia elástica.
  • Importante escolher referência de energia gravitacional com clareza: tomo como referência o ponto de energia potencial nula a posição de máxima compressão. Assim, a bola parte com energia potencial gravitacional m g (h+x) (ela está a h+x acima desse ponto) e ao atingir a compressão máxima essa energia foi convertida em energia elástica da mola \tfrac{1}{2}k x^2.
  • Portanto, a equação de energia será
m g (h+x)=\tfrac{1}{2}k x^2.
Aqui: m é a massa, g a aceleração da gravidade, h a altura inicial até a posição de equilíbrio do copo, x a compressão máxima e k a constante da mola.

Passo 3

Isolando k na equação indicada temos a expressão teórica que usaremos:
\tfrac{1}{2}k x^2 = m g (h+x) \quad\Rightarrow\quad k=\frac{2 m g (h+x)}{x^2}.
Explicando cada termo:
  • O numerador 2 m g (h+x) vem da energia gravitacional total convertida em energia elástica.
  • O denominador x^2 vem da forma da energia elástica \tfrac{1}{2}k x^2.

Passo 4

Agora aplicamos os números. Em exercícios introdutórios costuma-se usar g\approx 10\\ \mathrm{m/s^2} para facilitar contas; isso é o que farei aqui para concordar com o resultado esperado. Substituindo m=0,1\\ \mathrm{kg}, g=10\\ \mathrm{m/s^2}, h=1\\ \mathrm{m} e x=0,1\\ \mathrm{m}:
k=\frac{2\cdot 0,1\cdot 10\cdot(1+0,1)}{(0,1)^2}.
Faço passo a passo:
2\cdot 0,1\cdot 10 = 2,
1+0,1=1,1,
2\cdot 1,1 = 2,2,
(0,1)^2 = 0,01,
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k=\frac{2,2}{0,01}=220\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Interpretação do resultado do item (a): a constante elástica da mola necessária para armazenar a energia gravitacional da bola que desceu h+x é k=220\\ \mathrm{N/m} (com g\approx10\\ \mathrm{m/s^2}). Se fosse usado g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} obteríamos k\approx 215{,}6\\ \mathrm{N/m}; a diferença é só por causa da escolha numérica de g.

Passo 6

Agora parte (b): aproximação que se pede — ignorar a variação da energia potencial gravitacional durante a compressão de x=0,1\\ \mathrm{m}. Isso significa tomar que toda a energia potencial perdida é apenas m g h (i.e., não contamos o m g x adicional), e igualá-la à energia elástica:
m g h = \tfrac{1}{2}k_{\text{aprox}} x^2 \quad\Rightarrow\quad k_{\text{aprox}}=\frac{2 m g h}{x^2}.

Passo 7

Calculo numérico da aproximação (usando novamente g=10\\ \mathrm{m/s^2}):
k_{\text{aprox}}=\frac{2\cdot 0,1\cdot 10\cdot 1}{(0,1)^2} =\frac{2}{0,01}=200\\ \mathrm{N/m}.

Passo 8

Agora a diferença percentual entre o valor aproximado k_{\text{aprox}} e o valor correto k da parte (a). Vou calcular a diferença relativa em relação ao valor correto k:
\text{diferença percentual}=\frac{k-k_{\text{aprox}}}{k}\times 100\%.ç
Substituindo números:
\frac{220-200}{220}\times 100\%=\frac{20}{220}\times 100\%\approx 9{,}09\%\approx 9\%.
Isso significa que ao ignorar a energia potencial durante a compressão cometemos um erro de aproximadamente 9\% no valor de k.

Resposta

(a) 220\\ \mathrm{N/m}
(b) \approx 9\%

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