Uma força variável que atua sobre uma partícula de 0,1 \mathrm{~kg} movendo-se no plano x y é dada por \vec{F}(x, y)=\left(x^{2} \hat{\imath}+y^{2} \hat{\jmath}\right) \mathrm{N}, onde x e y estão em metros. Suponha que, em razão dessa força, a partícula se move da origem, O, ao ponto S, com coordenadas ( 10 \mathrm{~m}, 10 \mathrm{~m} ). As coordenadas do ponto P e Q são, respectivamente. (0 \mathrm{~m}, 10 \mathrm{~m}) e (10 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}). Determine o trabalho realizado pela força conforme a partícula se move através dos seguintes caminhos:
O P S;

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força quando a partícula vai de O=(0,0) a S=(10,10) seguindo o caminho quebrado O\to P\to S, onde P=(0,10). Dados importantes fornecidos:
  • A massa da partícula é 0,1\\ \mathrm{kg} (essa informação não é necessária para o cálculo do trabalho aqui, mas está no enunciado).
  • A força aplicada é \vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2}\,\hat{\imath}+y^{2}\,\hat{\jmath}\bigr)\\ \mathrm{N}, com x e y em metros.
  • O caminho O P S consiste de duas retas:
    • segmento O\to P: reta vertical em x=0, com y variando de 0 até 10;
    • segmento P\to S: reta horizontal em y=10, com x variando de 0 até 10.
      A tarefa é calcular o trabalho total W realizado por \vec{F} ao longo desse trajeto.

Passo 2

Breve explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo e sem pressa).
  • O trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma curva C no plano é dado pela integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)) e d\vec{r}=(dx,dy), então o produto escalar é \vec{F}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy.
  • Para um caminho composto por segmentos simples parametrize cada segmento e calcule a integral correspondente; o trabalho total é a soma dos trabalhos de cada segmento.
  • Além disso é útil saber quando o campo é conservativo: se \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y numa região simplesmente conexa, então existe uma função potencial \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi, e o trabalho entre dois pontos independe do caminho, sendo W=\varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}). Vou usar ambos os enfoques: calcular direto por segmentos (para treinar parametrização) e mostrar o atalho pelo potencial (para aprender a usar quando possível).

Passo 3

Cálculo do trabalho no primeiro segmento O\to P (reta vertical em x=0, y:0\to10).
  • Nesta parte do caminho temos x(t)=0 e y(t)=t com t variando de 0 a 10. Então d\vec{r}=(dx,dy)=(0,dt),e a força no ponto é \vec{F}(0,t)=\bigl(0^{2}\,\hat{\imath}+t^{2}\,\hat{\jmath}\bigr)=\bigl(0,\;t^{2}\bigr).
  • O produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} é \vec{F}\cdot d\vec{r}=0\cdot 0 + t^{2}\cdot dt = t^{2}\,dt.
  • Integramos de t=0 até t=10 para obter o trabalho W_{OP}: W_{OP}=\int_{0}^{10} t^{2}\,dt=\left[\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{10}=\dfrac{10^{3}}{3}=\dfrac{1000}{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Cálculo do trabalho no segundo segmento P\to S (reta horizontal em y=10, x:0\to10).
  • Parametrização: x(u)=u, y(u)=10, com u variando de 0 a 10. Assim d\vec{r}=(dx,dy)=(du,0),e a força ao longo desse segmento é \vec{F}(u,10)=\bigl(u^{2},\;10^{2}\bigr)=\bigl(u^{2},\;100\bigr).
  • O produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} é \vec{F}\cdot d\vec{r}=u^{2}\,du + 100\cdot 0 = u^{2}\,du.
  • Integramos de u=0 até u=10 para obter o trabalho W_{PS}: W_{PS}=\int_{0}^{10} u^{2}\,du=\left[\dfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{10}=\dfrac{10^{3}}{3}=\dfrac{1000}{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Soma dos trabalhos parciais para o caminho O\to P\to S.
  • O trabalho total pelo caminho O P S é a soma dos dois segmentos: W_{total}=W_{OP}+W_{PS}=\dfrac{1000}{3}+\dfrac{1000}{3}.
(Deixo a soma final em forma de fração para colocar o valor final único na seção de resposta, conforme pedido.)

Passo 6

Atalho (verificação): mostrar que o campo é conservativo e usar potencial.
  • Para \vec{F}=(P,Q) com P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=y^{2} calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0, \qquad \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.Como \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y em toda a região do plano, o campo é conservativo (a região é simplesmente conexa).
  • Existe então uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Para encontrá-la resolvemos \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad \varphi(x,y)=\dfrac{x^{3}}{3}+g(y),e \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=g'(y)=y^{2}\quad\Rightarrow\quad g(y)=\dfrac{y^{3}}{3}+C.Assim uma potencial válida é \varphi(x,y)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{y^{3}}{3}+C.
  • O trabalho entre O=(0,0) e S=(10,10) é W=\varphi(10,10)-\varphi(0,0)=\left(\dfrac{10^{3}}{3}+\dfrac{10^{3}}{3}+C\right)-\left(0+0+C\right)=\dfrac{1000}{3}+\dfrac{1000}{3},que coincide com a soma obtida no cálculo por segmentos. Isso confirma que o trabalho independe do caminho (desde que se mantenha entre os mesmos pontos) e oferece um atalho em problemas semelhantes.

Resposta

\dfrac{2000}{3}\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados