Uma força variável que atua sobre uma partícula de
movendo-se no plano
é dada por
, onde
e
estão em metros. Suponha que, em razão dessa força, a partícula se move da origem,
, ao ponto
, com coordenadas (
). As coordenadas do ponto
e
são, respectivamente.
e
. Determine o trabalho realizado pela força conforme a partícula se move através dos seguintes caminhos:
;
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pela força quando a partícula vai de
a
seguindo o caminho quebrado
, onde
. Dados importantes fornecidos:
- A massa da partícula é
(essa informação não é necessária para o cálculo do trabalho aqui, mas está no enunciado). - A força aplicada é
, com e em metros. - O caminho
consiste de duas retas: - segmento
: reta vertical em , com variando de até ; - segmento
: reta horizontal em , com variando de até .
A tarefa é calcular o trabalho totalrealizado por ao longo desse trajeto.
- segmento
Passo 2
Breve explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo e sem pressa).
- O trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma curva
no plano é dado pela integral de linha
Aqui
e
, então o produto escalar é
.
- Para um caminho composto por segmentos simples parametrize cada segmento e calcule a integral correspondente; o trabalho total é a soma dos trabalhos de cada segmento.
- Além disso é útil saber quando o campo é conservativo: se
numa região simplesmente conexa, então existe uma função potencial tal que , e o trabalho entre dois pontos independe do caminho, sendo . Vou usar ambos os enfoques: calcular direto por segmentos (para treinar parametrização) e mostrar o atalho pelo potencial (para aprender a usar quando possível).
Passo 3
Cálculo do trabalho no primeiro segmento
(reta vertical em
,
).
- Nesta parte do caminho temos
e com variando de a . Então e a força no ponto é - O produto escalar
é - Integramos de
até para obter o trabalho :
Passo 4
Cálculo do trabalho no segundo segmento
(reta horizontal em
,
).
- Parametrização:
, , com variando de a . Assim e a força ao longo desse segmento é - O produto escalar
é - Integramos de
até para obter o trabalho :
Passo 5
Soma dos trabalhos parciais para o caminho
.
- O trabalho total pelo caminho
é a soma dos dois segmentos:
(Deixo a soma final em forma de fração para colocar o valor final único na seção de resposta, conforme pedido.)
Passo 6
Atalho (verificação): mostrar que o campo é conservativo e usar potencial.
- Para
com e calcule Como em toda a região do plano, o campo é conservativo (a região é simplesmente conexa). - Existe então uma função potencial
tal que . Para encontrá-la resolvemos e Assim uma potencial válida é - O trabalho entre
e é que coincide com a soma obtida no cálculo por segmentos. Isso confirma que o trabalho independe do caminho (desde que se mantenha entre os mesmos pontos) e oferece um atalho em problemas semelhantes.