Q3. A força \vec{F}=\left(2 x^{2}\right) \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2} age sobre uma partícula. Calcular o trabalho feito sobre a partícula quando ela cobre a distância de 5 m (a) paralelamente ao eixo dos y do ponto (2 \mathrm{~m}, 2 \mathrm{~m}) até o ponto (2 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}) e (b) sobre uma reta de (2 \mathrm{~m}, 2 \mathrm{~m}) até o ponto (5 \mathrm{~m}, 6 \mathrm{~m}). R: (a) 0 (b) 78 J).

Passo 1

O enunciado fornece uma força dependente da posição e pede o trabalho realizado ao mover uma partícula entre dois pontos. Informações e pedidos relevantes:
  • A força é dada como \vec{F}=2x^{2} (o enunciado está ambíguo na notação de vetor, então vamos interpretar racionalmente: a expressão depende apenas de x e não aparece componente em y; portanto adotaremos \vec{F}=2x^{2}\,\hat{\imath}, ou seja, força apontando ao longo do eixo x com intensidade 2x^{2}).
  • Unidades: vamos tratar o resultado em joules \mathrm{(J)}.
  • Pedido (a): calcular o trabalho quando a partícula se desloca de (2\\ \mathrm{m},\;2\\ \mathrm{m}) até (2\\ \mathrm{m},\;7\\ \mathrm{m}), percurso paralelo ao eixo y.
  • Pedido (b): calcular o trabalho quando a partícula vai de (2\\ \mathrm{m},\;2\\ \mathrm{m}) até (5\\ \mathrm{m},\;6\\ \mathrm{m}) ao longo de uma reta.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito que vamos usar: trabalho de uma força variável ao longo de uma trajetória. A definição é a integral de linha do produto escalar entre o campo de força e o deslocamento infinitesimal:
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Explicando devagar:
  • \vec{F} é o vetor força em cada ponto.
  • d\vec{r} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva C.
  • O produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} pega somente as componentes paralelas (mesma direção) entre força e deslocamento; se a força for perpendicular ao deslocamento infinitesimal, o produto escalar é zero e esse pedaço não contribui para o trabalho.
    Na prática, se \vec{F}=F_x(x,y)\,\hat{\imath}+F_y(x,y)\,\hat{\jmath} e d\vec{r}=dx\,\hat{\imath}+dy\,\hat{\jmath}, então
\vec{F}\cdot d\vec{r}=F_x\,dx+F_y\,dy.
Isso é o que vamos aplicar em cada percurso.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: com a interpretação \vec{F}=2x^{2}\,\hat{\imath}, temos F_x(x,y)=2x^{2} e F_y(x,y)=0. Portanto, de forma geral,
\vec{F}\cdot d\vec{r}=2x^{2}\,dx+0\cdot dy=2x^{2}\,dx.
Ou seja, o trabalho ao longo de qualquer curva C depende apenas da variação de x: podemos escrever
W=\int_{C}2x^{2}\,dx.
Isto já sugere que se numa parte do percurso dx=0 (x constante), então o trabalho nessa parte será zero.

Passo 4

Resolvendo o item (a). O caminho é paralelo ao eixo y e liga (2\\ \mathrm{m},\;2\\ \mathrm{m}) até (2\\ \mathrm{m},\;7\\ \mathrm{m}). Então em todo o percurso x é constante e vale x=2\\ \mathrm{m}. Isso implica dx=0 em todos os pontos do caminho. Usando a expressão da integral,
W_{(a)}=\int_{C}2x^{2}\,dx=0,
pois integrando com dx=0 não há contribuição. Intuitivamente: a força aponta ao longo do eixo x, mas o deslocamento está só em y, portanto força e deslocamento são perpendiculares em cada instante — logo, trabalho nulo. Resultado: W_{(a)}=0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Resolvendo o item (b). O caminho é a reta de (2\\ \mathrm{m},\;2\\ \mathrm{m}) até (5\\ \mathrm{m},\;6\\ \mathrm{m}). Vamos parametrizar essa reta de forma simples e direta: tome um parâmetro t\in[0,1] e escreva
x(t)=2+3t,\qquad y(t)=2+4t,
porque ao variar t de 0 a 1 temos x(0)=2, x(1)=5 (variação em x de +3) e y(0)=2, y(1)=6 (variação em y de +4). Então
dx=\frac{dx}{dt}\,dt=3\,dt.
Como vimos, a contribuição do trabalho é 2x^{2}\,dx. Substituímos x(t) e dx:

Passo 6

Escrevendo a integral do trabalho usando a parametrização:
W_{(b)}=\int_{C}2x^{2}\,dx=\int_{t=0}^{1}2\bigl(x(t)\bigr)^{2}\,dx=\int_{0}^{1}2(2+3t)^{2}\cdot 3\,dt.
Fatores fora: 2\cdot 3=6, então
W_{(b)}=6\int_{0}^{1}(2+3t)^{2}\,dt.
Agora expandimos o quadrado para integrar facilmente:
(2+3t)^{2}=4+12t+9t^{2}.
Portanto a integral torna-se
W_{(b)}=6\int_{0}^{1}\bigl(4+12t+9t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 7

Integramos termo a termo (lembrando das fórmulas básicas: \int a\,dt=a t, \int t\,dt=\tfrac{1}{2}t^{2}, \int t^{2}\,dt=\tfrac{1}{3}t^{3}). Assim,
\int_{0}^{1}4\,dt=4,\qquad \int_{0}^{1}12t\,dt=12\cdot\tfrac{1}{2}=6,\qquad \int_{0}^{1}9t^{2}\,dt=9\cdot\tfrac{1}{3}=3.
Somando as parcelas da integral: 4+6+3=13. Multiplicando pelo fator 6:
W_{(b)}=6\times 13=78.
As unidades são joules, então W_{(b)}=78\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) 0\\ \mathrm{J}
(b) 78\\ \mathrm{J}

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