Q3. A força
age sobre uma partícula. Calcular o trabalho feito sobre a partícula quando ela cobre a distância de 5 m (a) paralelamente ao eixo dos
do ponto
até o ponto
e (b) sobre uma reta de
até o ponto
. R: (a) 0 (b) 78 J).
Passo 1
O enunciado fornece uma força dependente da posição e pede o trabalho realizado ao mover uma partícula entre dois pontos. Informações e pedidos relevantes:
- A força é dada como
(o enunciado está ambíguo na notação de vetor, então vamos interpretar racionalmente: a expressão depende apenas de e não aparece componente em ; portanto adotaremos , ou seja, força apontando ao longo do eixo com intensidade ). - Unidades: vamos tratar o resultado em joules
. - Pedido (a): calcular o trabalho quando a partícula se desloca de
até , percurso paralelo ao eixo . - Pedido (b): calcular o trabalho quando a partícula vai de
até ao longo de uma reta.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito que vamos usar: trabalho de uma força variável ao longo de uma trajetória. A definição é a integral de linha do produto escalar entre o campo de força e o deslocamento infinitesimal:
Explicando devagar:
-
é o vetor força em cada ponto. -
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva . - O produto escalar
pega somente as componentes paralelas (mesma direção) entre força e deslocamento; se a força for perpendicular ao deslocamento infinitesimal, o produto escalar é zero e esse pedaço não contribui para o trabalho.
Na prática, see , então
Isso é o que vamos aplicar em cada percurso.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: com a interpretação
, temos
e
. Portanto, de forma geral,
Ou seja, o trabalho ao longo de qualquer curva
depende apenas da variação de
: podemos escrever
Isto já sugere que se numa parte do percurso
(x constante), então o trabalho nessa parte será zero.
Passo 4
Resolvendo o item (a). O caminho é paralelo ao eixo
e liga
até
. Então em todo o percurso
é constante e vale
. Isso implica
em todos os pontos do caminho. Usando a expressão da integral,
pois integrando com
não há contribuição. Intuitivamente: a força aponta ao longo do eixo
, mas o deslocamento está só em
, portanto força e deslocamento são perpendiculares em cada instante — logo, trabalho nulo. Resultado:
.
Passo 5
Resolvendo o item (b). O caminho é a reta de
até
. Vamos parametrizar essa reta de forma simples e direta: tome um parâmetro
e escreva
porque ao variar
de
a
temos
,
(variação em
de
) e
,
(variação em
de
). Então
Como vimos, a contribuição do trabalho é
. Substituímos
e
:
Passo 6
Escrevendo a integral do trabalho usando a parametrização:
Fatores fora:
, então
Agora expandimos o quadrado para integrar facilmente:
Portanto a integral torna-se
Passo 7
Integramos termo a termo (lembrando das fórmulas básicas:
,
,
). Assim,
Somando as parcelas da integral:
. Multiplicando pelo fator
:
As unidades são joules, então
.
Resposta
(a)
(b)
(b)