Uma das forças que atuam sobre uma certa partícula depende da posição da partícula no plano x y. Esta força, F1, expressa em Newtons, é dada pela expressão: F1=(x y imath+x y jmath), onde x e y são expressos em partícula metros.
Calcule se move o trabalho realizado por esta força quando a partícula se move do ponto O ao ponto C, ao longo:
e) A força F1 é conservativa? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma força que atua sobre uma partícula no plano $ xy $. Essa força é representada por xy , onde F1 = (x y imath + x y jmath) e x são as coordenadas da partícula em metros. A pergunta é: Essa força y é conservativa? Para responder, vamos precisar entender o que é uma força conservativa e quais são as condições para que uma força seja considerada assim.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma força ser conservativa. Uma força conservativa é aquela que faz com que o trabalho realizado por ela seja independente do caminho percorrido pela partícula. Isso significa que a energia armazenada não depende de como a partícula chegou a um ponto, mas apenas da posição final.
Matematicamente, uma força F é conservativa se existir uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
phi(x, y)
onde $ \nabla \phi $ é o gradiente da função potencial, ou seja:
F = nabla phi

Passo 3

No plano $ xy $, para uma força xy ser conservativa, ela precisa satisfazer uma condição específica relacionada às suas derivadas parciais. Essa condição é conhecida como condição de conservatividade e é dada por:
F = (P, Q)
Ou seja, a derivada parcial de $ Q $ em relação a $ x $ deve ser igual à derivada parcial de $ P $ em relação a $ y $.

Passo 4

Vamos aplicar essa condição à força F1 = (x y, x y).
Primeiro, identifiquemos $ P $ e $ Q $:
P
Agora, calculamos as derivadas parciais:
  1. Derivada de $ Q $ em relação a $ x $:
Q
  1. Derivada de $ P $ em relação a $ y $:
P = x y Q = x y

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Qpartial x = y partial Ppartial y = x
Para a força F1 ser conservativa, essas duas derivadas deveriam ser iguais para todos os pontos $ (x, y) $ no plano. Porém, observa-se que:
(x, y)
Isso significa que, geralmente, $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ não é igual a $ \frac{\partial P}{\partial y} $, a menos que $ x = y $, o que não é verdadeiro para todo ponto no plano.

Resposta

Não, a força F1 não é conservativa porque as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y são diferentes.

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