Uma das forças que atuam sobre uma certa partícula depende da posição da partícula no plano
. Esta força,
, expressa em Newtons, é dada pela expressão:
, onde
e
são expressos em partícula metros.
Calcule se move o trabalho realizado por esta força quando a partícula se move do ponto
ao ponto
, ao longo:
e) A força
é conservativa? Justifique.
Calcule se move o trabalho realizado por esta força quando a partícula se move do ponto
e) A força
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma força que atua sobre uma partícula no plano $ xy $. Essa força é representada por
, onde
e
são as coordenadas da partícula em metros. A pergunta é: Essa força
é conservativa? Para responder, vamos precisar entender o que é uma força conservativa e quais são as condições para que uma força seja considerada assim.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma força ser conservativa. Uma força conservativa é aquela que faz com que o trabalho realizado por ela seja independente do caminho percorrido pela partícula. Isso significa que a energia armazenada não depende de como a partícula chegou a um ponto, mas apenas da posição final.
Matematicamente, uma força
é conservativa se existir uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
onde $ \nabla \phi $ é o gradiente da função potencial, ou seja:
Passo 3
No plano $ xy $, para uma força
ser conservativa, ela precisa satisfazer uma condição específica relacionada às suas derivadas parciais. Essa condição é conhecida como condição de conservatividade e é dada por:
Ou seja, a derivada parcial de $ Q $ em relação a $ x $ deve ser igual à derivada parcial de $ P $ em relação a $ y $.
Passo 4
Vamos aplicar essa condição à força
.
Primeiro, identifiquemos $ P $ e $ Q $:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
- Derivada de $ Q $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ P $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Para a força
ser conservativa, essas duas derivadas deveriam ser iguais para todos os pontos $ (x, y) $ no plano. Porém, observa-se que:
Isso significa que, geralmente, $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ não é igual a $ \frac{\partial P}{\partial y} $, a menos que $ x = y $, o que não é verdadeiro para todo ponto no plano.
Resposta
Não, a força
não é conservativa porque as derivadas parciais
e
são diferentes.