Uma onda progressiva em uma corda tem frequência de 30 Hz e comprimento de onda de 60 cm . Sua amplitude é de 2 mm e em
sua extremidade em
encontra-se no valor da amplitude. Encontre a aceleração transversal máxima de um ponto na corda por onde passa a onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda que está se movendo por uma corda com frequência de 30 Hz e comprimento de onda de 60 cm. A amplitude dessa onda é de 2 mm. No instante inicial (t = 0), a extremidade da corda em x = 0 está no valor máximo da amplitude. A missão aqui é descobrir qual é a aceleração transversal máxima de um ponto na corda por onde a onda passa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações das ondas e como calcular acelerações a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica que se propaga ao longo de uma corda pode ser descrita pela equação:
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ x $ é a posição ao longo da corda,
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos e converter as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Frequência $ f = 30 $ Hz
- Comprimento de onda $ \lambda = 60 $ cm = 0,6 m
- Amplitude $ A = 2 $ mm = 0,002 m
Passo 4
Calculamos o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $:
Passo 5
Agora, a equação da onda fica:
Passo 6
Para encontrar a aceleração transversal $ a(x, t) $, precisamos derivar a posição $ y(x, t) $ duas vezes em relação ao tempo:
Primeira derivada (velocidade):
Segunda derivada (aceleração):
Passo 7
Substituindo $ \omega $:
Calculando $ \omega^2 $:
Passo 8
A aceleração transversal máxima ocorre quando o seno é igual a 1 ou -1. Portanto, o valor máximo da aceleração é simplesmente o coeficiente:
Resposta
A aceleração transversal máxima de um ponto na corda é aproximadamente 71,02 m/s².