Uma onda progressiva em uma corda tem frequência de 30 Hz e comprimento de onda de 60 cm . Sua amplitude é de 2 mm e em t=0 sua extremidade em x=0 encontra-se no valor da amplitude. Encontre a aceleração transversal máxima de um ponto na corda por onde passa a onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda que está se movendo por uma corda com frequência de 30 Hz e comprimento de onda de 60 cm. A amplitude dessa onda é de 2 mm. No instante inicial (t = 0), a extremidade da corda em x = 0 está no valor máximo da amplitude. A missão aqui é descobrir qual é a aceleração transversal máxima de um ponto na corda por onde a onda passa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações das ondas e como calcular acelerações a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica que se propaga ao longo de uma corda pode ser descrita pela equação:
y(x, t) = A sin(kx - omega t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ x $ é a posição ao longo da corda,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos e converter as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Frequência $ f = 30 $ Hz
  • Comprimento de onda $ \lambda = 60 $ cm = 0,6 m
  • Amplitude $ A = 2 $ mm = 0,002 m

Passo 4

Calculamos o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $:
k
omega

Passo 5

Agora, a equação da onda fica:
y(x, t) = 0,002 sin(10,47x - 188,5t)

Passo 6

Para encontrar a aceleração transversal $ a(x, t) $, precisamos derivar a posição $ y(x, t) $ duas vezes em relação ao tempo:
a(x, t)
Primeira derivada (velocidade):
y(x, t)
Segunda derivada (aceleração):
a(x, t) = partial^2 ypartial t^2

Passo 7

Substituindo $ \omega $:
omega
Calculando $ \omega^2 $:
a(x, t) = -0,002 times (188,5)^2 sin(10,47x - 188,5t)
omega^2
(188,5)^2 approx 35512,25 , rad^2/s^2

Passo 8

A aceleração transversal máxima ocorre quando o seno é igual a 1 ou -1. Portanto, o valor máximo da aceleração é simplesmente o coeficiente:
|amáx| = 71,02 , m/s^2 á

Resposta

A aceleração transversal máxima de um ponto na corda é aproximadamente 71,02 m/s².

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