Mostre, partindo das eqs. (05.1) e (05.2), que se a segunda partícula for um alvo, v2^prime=0, então teremos:
& v1^prime=m1-m2m1+m2 v1 & v2^prime=2 m1m1+m2 v1
Inclua as considerações para aproximações e explicações/justificativas necessárias.
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
  1. As massas são iguais m1=m2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente, partindo das equações (05.1) e (05.2), mostrar que se a segunda partícula for um alvo, ou seja, se a velocidade final dela v2^prime for zero, então as velocidades finais v1^prime e v2^prime das duas partículas podem ser expressas pelas fórmulas dadas. Depois, também vamos analisar o caso especial onde as massas das duas partículas são iguais, usando as equações (06.1) e (06.2).
Para resolver isso, vamos precisar entender as leis de conservação da quantidade de movimento e da energia cinética, que são fundamentais na física das colisões. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações (05.1) e (05.2). Geralmente, em colisões elásticas, temos as seguintes equações de conservação:
  1. Conservação da quantidade de movimento:
    m1 v1 + m2 v2 = m1 v1^prime + m2 v2^prime
  2. Conservação da energia cinética:
    12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 = 12 m1 (v1^prime)^2 + 12 m2 (v2^prime)^2
Nesse caso, como a segunda partícula é um alvo, vamos supor que inicialmente ela estava em repouso, então v2 = 0.

Passo 3

Substituindo v2 = 0 nas equações de conservação, temos:
  1. Conservação da quantidade de movimento:
    m1 v1 = m1 v1^prime + m2 v2^prime
  2. Conservação da energia cinética:
    12 m1 v1^2 = 12 m1 (v1^prime)^2 + 12 m2 (v2^prime)^2
O que precisamos mostrar é que, se v2^prime = 0, então:
v1^prime = m1 - m2m1 + m2 v1
v2^prime = 2 m1m1 + m2 v1

Passo 4

Vamos começar assumindo que depois da colisão a segunda partícula permanece parada, ou seja, v2^prime = 0. Vamos substituir esse valor na equação da conservação da quantidade de movimento:
m1 v1 = m1 v1^prime + m2 cdot 0
Simplificando:
m1 v1 = m1 v1^prime
Para encontrar v1^prime, dividimos ambos os lados por m1:
v1 = v1^prime
Isso sugere que a velocidade da primeira partícula não mudou, o que parece estranho. Isso ocorre porque estamos impondo v2^prime = 0, mas precisamos considerar a conservação da energia também.

Passo 5

Agora, vamos usar a equação da conservação da energia cinética com v2^prime = 0:
12 m1 v1^2 = 12 m1 (v1^prime)^2 + 12 m2 cdot 0
Simplificando:
12 m1 v1^2 = 12 m1 (v1^prime)^2
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por m1:
v1^2 = (v1^prime)^2
Isso implica que v1^prime = pm v1. Contudo, fizemos uma imposição que não está de acordo com as duas equações simultaneamente, indicando que nossa hipótese inicial pode não levar a uma solução consistente a menos que certas condições sejam atendidas.

Passo 6

Na verdade, para que possamos ter v2^prime = 0, a única possibilidade é que, na colisão, a primeira partícula transfira exatamente sua quantidade de movimento para a segunda, parando ela mesma. Isso ocorre quando as massas são iguais e a primeira partícula para definitivamente, o que é um caso específico.
No entanto, para generalizar, usaremos as equações de conservação sem impor v2^prime = 0 inicialmente e resolveremos o sistema para encontrar as expressões gerais para v1^prime e v2^prime. Depois, imporemos v2^prime = 0 para obter as fórmulas desejadas.

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Quantidade de movimento:
    m1 v1 = m1 v1^prime + m2 v2^prime
    Podemos reescrever como:
    m1(v1 - v1^prime) = m2 v2^prime
  2. Energia cinética:
    12 m1 v1^2 = 12 m1 (v1^prime)^2 + 12 m2 (v2^prime)^2
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
m1 v1^2 = m1 (v1^prime)^2 + m2 (v2^prime)^2

Passo 8

Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar v1^prime e v2^prime.
Da equação de quantidade de movimento:
v2^prime = m1m2 (v1 - v1^prime)
Substituímos isso na equação da energia cinética:
m1 v1^2 = m1 (v1^prime)^2 + m2 ( m1m2 (v1 - v1^prime) )^2
Simplificando:
m1 v1^2 = m1 (v1^prime)^2 + m1^2m2 (v1 - v1^prime)^2
Dividindo ambos os lados por m1:
v1^2 = (v1^prime)^2 + m1m2 (v1 - v1^prime)^2

Passo 9

Expandindo o termo (v1 - v1^prime)^2:
v1^2 = (v1^prime)^2 + m1m2 ( v1^2 - 2 v1 v1^prime + (v1^prime)^2 )
Distribuindo m1m2:
v1^2 = (v1^prime)^2 + m1m2 v1^2 - 2 m1m2 v1 v1^prime + m1m2 (v1^prime)^2
Reorganizando os termos:
v1^2 - m1m2 v1^2 = (1 + m1m2) (v1^prime)^2 - 2 m1m2 v1 v1^prime
Factorando o lado esquerdo:
v1^2 (1 - m1m2) = (1 + m1m2) (v1^prime)^2 - 2 m1m2 v1 v1^prime

Passo 10

Agora, vamos resolver para v1^prime.
Organizando a equação:
(1 + m1m2) (v1^prime)^2 - 2 m1m2 v1 v1^prime - v1^2 (1 - m1m2) = 0
Multiplicando tudo por m2 para eliminar denominadores:
(m2 + m1) (v1^prime)^2 - 2 m1 v1 v1^prime - v1^2 (m2 - m1) = 0
Rearranjando:
(m1 + m2) (v1^prime)^2 - 2 m1 v1 v1^prime - (m2 - m1) v1^2 = 0

Passo 11

Agora, temos uma equação quadrática em relação a v1^prime:
(m1 + m2) (v1^prime)^2 - 2 m1 v1 v1^prime - (m2 - m1) v1^2 = 0
Podemos resolver essa equação usando a fórmula quadrática:
Simplificando o discriminante:
Calculando dentro da raiz:
Portanto:
v1^prime = 2 m1 v1 pm raiz(2 m1 v1)^2 + 4 (m1 + m2) (m2 - m1) v1^22 (m1 + m2)

Passo 12

Assim, temos duas soluções:
  1. v1^prime = m1 + m2m1 + m2 v1 = v1
  2. v1^prime = m1 - m2m1 + m2 v1
A primeira solução corresponde ao caso trivial em que as velocidades não mudam, então a solução física é a segunda.
Portanto:
v1^prime = m1 - m2m1 + m2 v1
E substituindo esse valor na equação da quantidade de movimento para encontrar v2^prime:
v2^prime = m1m2 (v1 - v1^prime) = m1m2 ( v1 - m1 - m2m1 + m2 v1 )
Simplificando:
v2^prime = m1m2 ( 2 m2m1 + m2 v1 ) = 2 m1m1 + m2 v1

Resposta

Portanto, demonstramos que, se a segunda partícula for um alvo com v2^prime = 0, então as velocidades após a colisão são:
& v1^prime=m1-m2m1+m2 v1 & v2^prime=2 m1m1+m2 v1
Além disso, nos casos particulares quando as massas são iguais, ou seja, m1 = m2, substituindo na expressão de v1^prime:
v1^prime = m1 - m1m1 + m1 v1 = 0
E para v2^prime:
v2^prime = 2 m1m1 + m1 v1 = 2 m12 m1 v1 = v1
Ou seja, quando as massas são iguais, a primeira partícula para completamente e a segunda adquire a velocidade inicial da primeira.

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