Mostre, partindo das eqs. (05.1) e (05.2), que se a segunda partícula for um alvo,
, então teremos:
Inclua as considerações para aproximações e explicações/justificativas necessárias.
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
- As massas são iguais
?
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente, partindo das equações (05.1) e (05.2), mostrar que se a segunda partícula for um alvo, ou seja, se a velocidade final dela
for zero, então as velocidades finais
e
das duas partículas podem ser expressas pelas fórmulas dadas. Depois, também vamos analisar o caso especial onde as massas das duas partículas são iguais, usando as equações (06.1) e (06.2).
Para resolver isso, vamos precisar entender as leis de conservação da quantidade de movimento e da energia cinética, que são fundamentais na física das colisões. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações (05.1) e (05.2). Geralmente, em colisões elásticas, temos as seguintes equações de conservação:
-
Conservação da quantidade de movimento:
-
Conservação da energia cinética:
Nesse caso, como a segunda partícula é um alvo, vamos supor que inicialmente ela estava em repouso, então
.
Passo 3
Substituindo
nas equações de conservação, temos:
-
Conservação da quantidade de movimento:
-
Conservação da energia cinética:
O que precisamos mostrar é que, se
, então:
Passo 4
Vamos começar assumindo que depois da colisão a segunda partícula permanece parada, ou seja,
. Vamos substituir esse valor na equação da conservação da quantidade de movimento:
Simplificando:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Isso sugere que a velocidade da primeira partícula não mudou, o que parece estranho. Isso ocorre porque estamos impondo
, mas precisamos considerar a conservação da energia também.
Passo 5
Agora, vamos usar a equação da conservação da energia cinética com
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por
:
Isso implica que
. Contudo, fizemos uma imposição que não está de acordo com as duas equações simultaneamente, indicando que nossa hipótese inicial pode não levar a uma solução consistente a menos que certas condições sejam atendidas.
Passo 6
Na verdade, para que possamos ter
, a única possibilidade é que, na colisão, a primeira partícula transfira exatamente sua quantidade de movimento para a segunda, parando ela mesma. Isso ocorre quando as massas são iguais e a primeira partícula para definitivamente, o que é um caso específico.
No entanto, para generalizar, usaremos as equações de conservação sem impor
inicialmente e resolveremos o sistema para encontrar as expressões gerais para
e
. Depois, imporemos
para obter as fórmulas desejadas.
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
-
Quantidade de movimento:Podemos reescrever como:
-
Energia cinética:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar
e
.
Da equação de quantidade de movimento:
Substituímos isso na equação da energia cinética:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Expandindo o termo
:
Distribuindo
:
Reorganizando os termos:
Factorando o lado esquerdo:
Passo 10
Agora, vamos resolver para
.
Organizando a equação:
Multiplicando tudo por
para eliminar denominadores:
Rearranjando:
Passo 11
Agora, temos uma equação quadrática em relação a
:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula quadrática:
Simplificando o discriminante:
Calculando dentro da raiz:
Portanto:
Passo 12
Assim, temos duas soluções:
A primeira solução corresponde ao caso trivial em que as velocidades não mudam, então a solução física é a segunda.
Portanto:
E substituindo esse valor na equação da quantidade de movimento para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, demonstramos que, se a segunda partícula for um alvo com
, então as velocidades após a colisão são:
Além disso, nos casos particulares quando as massas são iguais, ou seja,
, substituindo na expressão de
:
E para
:
Ou seja, quando as massas são iguais, a primeira partícula para completamente e a segunda adquire a velocidade inicial da primeira.