Mostre, em sua forma integral para uma dimensão, que o trabalho ( W) realizado sobre uma partícula é igual a variação de sua energia cinética (K). Comente sobre a validade do resultado, em quais condições ela é válida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos, na forma integral para uma dimensão, que o trabalho ( W) realizado sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética ( K). Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente a relação entre força, trabalho e energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais e como a energia cinética está relacionada à velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de trabalho. Em uma dimensão, o trabalho ( W) realizado por uma força ( F) ao longo de um deslocamento ( x) é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
W = integralxi^xf F , dx
Aqui, xi e xf são as posições inicial e final da partícula, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a força com a massa ( m) e a aceleração ( a) da partícula usando a segunda lei de Newton:
F = m cdot a
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt

Passo 4

Vamos substituir a na expressão da força:
F = m cdot dvdt
Agora, substituímos essa expressão na integral do trabalho:
W = integralxi^xf m cdot dvdt , dx

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos expressar dx em termos de v e dt. Sabemos que:
v = dxdt Rightarrow dx = v , dt
Substituindo isso na integral:
W = integralti^tf m cdot dvdt cdot v , dt

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
W = m integralti^tf v cdot dvdt , dt
Observe que v cdot dvdt é a derivada de v^22 em relação ao tempo.

Passo 7

Portanto, a integral fica:
W = m integralti^tf ddt(v^22) , dt = m [ v^22 ]ti^tf

Passo 8

Calculando a expressão:
W = m ( vf^22 - vi^22 ) = 12 m vf^2 - 12 m vi^2

Passo 9

Reconhecemos que 12 m v^2 é a expressão da energia cinética ( K). Assim:
W = Kf - Ki
Ou seja:
W = De

Resposta

Mostramos que o trabalho realizado sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética, ou seja, W = De. Esse resultado, conhecido como Teorema do Trabalho-Energia, é válido quando todas as forças envolvidas são conservativas e o movimento ocorre em uma única dimensão sem outras influências externas.

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