Mostre, em sua forma integral para uma dimensão, que o trabalho (
) realizado sobre uma partícula é igual a variação de sua energia cinética
. Comente sobre a validade do resultado, em quais condições ela é válida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos, na forma integral para uma dimensão, que o trabalho (
) realizado sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética (
). Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente a relação entre força, trabalho e energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais e como a energia cinética está relacionada à velocidade da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de trabalho. Em uma dimensão, o trabalho (
) realizado por uma força (
) ao longo de um deslocamento (
) é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
Aqui,
e
são as posições inicial e final da partícula, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a força com a massa (
) e a aceleração (
) da partícula usando a segunda lei de Newton:
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Vamos substituir
na expressão da força:
Agora, substituímos essa expressão na integral do trabalho:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Substituindo isso na integral:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Observe que
é a derivada de
em relação ao tempo.
Passo 7
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Calculando a expressão:
Passo 9
Reconhecemos que
é a expressão da energia cinética (
). Assim:
Ou seja:
Resposta
Mostramos que o trabalho realizado sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética, ou seja,
. Esse resultado, conhecido como Teorema do Trabalho-Energia, é válido quando todas as forças envolvidas são conservativas e o movimento ocorre em uma única dimensão sem outras influências externas.