Das forças dadas abaixo, determine quais são forças conservativas e para as que forem, determine qual a expressão da energia potencial da qual elas (as conservativas) podem ser derivadas. Confirme sua resposta determinando a força referente a função energia potencial calculada: \vec{F}=-\vec{\nabla} U.
\vec{F}=-2 a r \sin \theta \cos \varphi \hat{r}-a r \cos \theta \cos \varphi \hat{\theta}+a r \sin \theta \sin \varphi \hat{\varphi}

Passo 1

O enunciado dá uma única força em coordenadas esféricas:
\vec{F} = -2a r \sin\theta \cos\varphi\,\hat r \;-\; a r \cos\theta \cos\varphi\,\hat\theta \;+\; a r \sin\theta \sin\varphi\,\hat\varphi .
O que se pede:
  1. Determinar se essa força é conservativa (isto é, se existe uma função energia potencial U(r,\theta,\varphi) tal que \vec{F}=-\vec{\nabla}U).
  2. Se for conservativa, achar explicitamente U e confirmar que \vec{F}=-\vec{\nabla}U.
Informações relevantes fornecidas:
  • O parâmetro a é uma constante (presumimos constante escalar).
  • As componentes fornecidas estão nas direções unitárias esféricas \hat r,\hat\theta,\hat\varphi e dependem de (r,\theta,\varphi).

Passo 2

Primeiro relembrar a relação entre \vec{F} e U em coordenadas esféricas. Se
\vec{F} = F_{r}\,\hat r + F_{\theta}\,\hat\theta + F_{\varphi}\,\hat\varphi
e \vec{F}=-\vec{\nabla}U, então as componentes se relacionam com U assim:
F_{r} = -\frac{\partial U}{\partial r}, \qquad F_{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}, \qquad F_{\varphi} = -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial \varphi}.
Explicando devagar: \partial U/\partial r é a derivada parcial de U em relação a r mantendo \theta,\varphi fixos; os fatores 1/r e 1/(r\sin\theta) vêm da fórmula do gradiente em coordenadas esféricas.
Para verificar se existe U basta tentar integrar essas relações e checar consistência entre as três componentes (ou calcular o rotacional e ver se é nulo). Vou fazer as duas coisas: primeiro tentar integrar (método construtivo), e depois confirmar computando o rotacional (método direto).

Passo 3

Identifico as componentes dadas:
F_{r} = -2a r \sin\theta \cos\varphi,
F_{\theta} = -a r \cos\theta \cos\varphi,
F_{\varphi} = a r \sin\theta \sin\varphi.
Começo integrando a equação para F_{r}:
F_{r} = -\frac{\partial U}{\partial r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial U}{\partial r} = -F_{r} = 2a r \sin\theta \cos\varphi.
Integro em r mantendo \theta,\varphi fixos:
U(r,\theta,\varphi) = \int 2a r \sin\theta \cos\varphi\,dr = a r^{2} \sin\theta \cos\varphi + G(\theta,\varphi),
onde G(\theta,\varphi) é uma função arbitrária de \theta e \varphi (constante de integração em relação a r).

Passo 4

Agora uso a relação com a componente \theta. Temos
F_{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial U}{\partial \theta} = -r F_{\theta} = -r\big(-a r \cos\theta \cos\varphi\big) = a r^{2} \cos\theta \cos\varphi .
Calculo \partial U/\partial\theta a partir da expressão obtida em

Passo 5

\frac{\partial U}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta}\big(a r^{2}\sin\theta\cos\varphi + G(\theta,\varphi)\big) = a r^{2}\cos\theta\cos\varphi + \frac{\partial G}{\partial\theta}.
Comparando com o que a componente \theta exige, obtemos
a r^{2}\cos\theta\cos\varphi + \frac{\partial G}{\partial\theta} = a r^{2}\cos\theta\cos\varphi,
logo
\frac{\partial G}{\partial\theta} = 0.
Portanto G não depende de \theta; isto é, G(\theta,\varphi)=H(\varphi) para alguma função H apenas de \varphi.
Assim até aqui:
U(r,\theta,\varphi) = a r^{2}\sin\theta\cos\varphi + H(\varphi).

Passo 6

Agora uso a relação com a componente \varphi:
F_{\varphi} = -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial\varphi} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial U}{\partial\varphi} = -r\sin\theta\,F_{\varphi}.
Substituo F_{\varphi}=a r \sin\theta \sin\varphi:
\frac{\partial U}{\partial\varphi} = -r\sin\theta \cdot (a r \sin\theta \sin\varphi) = -a r^{2} \sin^{2}\theta \sin\varphi.
Por outro lado, calculo \partial U/\partial\varphi a partir da forma encontrada:
\frac{\partial U}{\partial\varphi} = \frac{\partial}{\partial\varphi}\big(a r^{2}\sin\theta\cos\varphi + H(\varphi)\big) = -a r^{2}\sin\theta\sin\varphi + H'(\varphi).
Igualando com o que a componente \varphi exige:
-a r^{2}\sin\theta\sin\varphi + H'(\varphi) = -a r^{2}\sin^{2}\theta\sin\varphi.
Rearranjando:
H'(\varphi) = -a r^{2}\sin^{2}\theta\sin\varphi + a r^{2}\sin\theta\sin\varphi = a r^{2}\sin\theta\sin\varphi\big(1-\sin\theta\big).

Passo 7

A equação achada para H'(\varphi) apresenta um problema: o lado direito depende de r e de \theta, mas H'(\varphi) só pode depender de \varphi. Isso é uma contradição, a menos que a expressão do lado direito seja, por algum motivo, independente de r e \theta — o que não ocorre para dependência geral de (r,\theta). Portanto não existe função H(\varphi) que satisfaça essa igualdade para todos (r,\theta,\varphi). Conclusão: não é possível encontrar uma U(r,\theta,\varphi) global que satisfaça todas as três componentes simultaneamente.
Isto já demonstra que a força não é conservativa.

Passo 8

Para confirmar, calculo o rotacional \nabla\times\vec F em coordenadas esféricas usando a fórmula (com A_{r}=F_{r},A_{\theta}=F_{\theta},A_{\varphi}=F_{\varphi}):
(\nabla\times\vec F)_{r} = \frac{1}{r\sin\theta}\!\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,F_{\varphi}\big) - \frac{\partial F_{\theta}}{\partial\varphi}\right].
Calculo as partes:
\sin\theta\,F_{\varphi} = \sin\theta\cdot a r \sin\theta \sin\varphi = a r \sin^{2}\theta \sin\varphi,
\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,F_{\varphi}\big) = a r \cdot 2\sin\theta\cos\theta \sin\varphi,
\frac{\partial F_{\theta}}{\partial\varphi} = \frac{\partial}{\partial\varphi}\big(-a r \cos\theta \cos\varphi\big) = a r \cos\theta \sin\varphi.
Logo
(\nabla\times\vec F)_{r} = \frac{1}{r\sin\theta}\Big(2a r \sin\theta\cos\theta\sin\varphi - a r \cos\theta\sin\varphi\Big) = a\cos\theta\sin\varphi\,\frac{2\sin\theta -1}{\sin\theta}.
Essa expressão não é identicamente zero para todos (r,\theta,\varphi). Por exemplo, para \theta=\pi/3 (onde \sin\theta=\sqrt{3}/2) e \varphi=\pi/2 temos (\nabla\times\vec F)_{r}\neq 0. Assim o rotacional é não nulo em geral, confirmando que a força é não conservativa.

Passo 9

Resumo didático e motivacional: tentei construir U integrando componente a componente — isso é a forma prática que você usaria numa prova para achar um potencial quando a força parece “parecer” de gradiente. Aqui a integração parcimoniosa deu uma contradição na última componente \varphi, o que já sinaliza que não existe U. Calcular o rotacional e mostrar que ele não é zero é uma verificação direta e algébrica que confirma a não-conservatividade. Então a resposta final é simples e segura: a força dada NÃO é conservativa, portanto não existe função energia potencial U tal que \vec{F} = -\vec{\nabla}U.

Resposta

A força não é conservativa — não existe função energia potencial U(r,\theta,\varphi) tal que \vec{F}=-\vec{\nabla}U.

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