Das forças dadas abaixo, determine quais são forças conservativas e para as que forem, determine qual a expressão da energia potencial da qual elas (as conservativas) podem ser derivadas. Confirme sua resposta determinando a força referente a função energia potencial calculada:
.
Passo 1
O enunciado dá uma única força em coordenadas esféricas:
O que se pede:
- Determinar se essa força é conservativa (isto é, se existe uma função energia potencial
tal que ). - Se for conservativa, achar explicitamente
e confirmar que .
Informações relevantes fornecidas:
- O parâmetro
é uma constante (presumimos constante escalar). - As componentes fornecidas estão nas direções unitárias esféricas
e dependem de .
Passo 2
Primeiro relembrar a relação entre
e
em coordenadas esféricas. Se
e
, então as componentes se relacionam com
assim:
Explicando devagar:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixos; os fatores
e
vêm da fórmula do gradiente em coordenadas esféricas.
Para verificar se existe
basta tentar integrar essas relações e checar consistência entre as três componentes (ou calcular o rotacional e ver se é nulo). Vou fazer as duas coisas: primeiro tentar integrar (método construtivo), e depois confirmar computando o rotacional (método direto).
Passo 3
Identifico as componentes dadas:
Começo integrando a equação para
:
Integro em
mantendo
fixos:
onde
é uma função arbitrária de
e
(constante de integração em relação a
).
Passo 4
Agora uso a relação com a componente
. Temos
Calculo
a partir da expressão obtida em
Passo 5
Comparando com o que a componente
exige, obtemos
logo
Portanto
não depende de
; isto é,
para alguma função
apenas de
.
Assim até aqui:
Passo 6
Agora uso a relação com a componente
:
Substituo
:
Por outro lado, calculo
a partir da forma encontrada:
Igualando com o que a componente
exige:
Rearranjando:
Passo 7
A equação achada para
apresenta um problema: o lado direito depende de
e de
, mas
só pode depender de
. Isso é uma contradição, a menos que a expressão do lado direito seja, por algum motivo, independente de
e
— o que não ocorre para dependência geral de
. Portanto não existe função
que satisfaça essa igualdade para todos
. Conclusão: não é possível encontrar uma
global que satisfaça todas as três componentes simultaneamente.
Isto já demonstra que a força não é conservativa.
Passo 8
Para confirmar, calculo o rotacional
em coordenadas esféricas usando a fórmula (com
):
Calculo as partes:
Logo
Essa expressão não é identicamente zero para todos
. Por exemplo, para
(onde
) e
temos
. Assim o rotacional é não nulo em geral, confirmando que a força é não conservativa.
Passo 9
Resumo didático e motivacional: tentei construir
integrando componente a componente — isso é a forma prática que você usaria numa prova para achar um potencial quando a força parece “parecer” de gradiente. Aqui a integração parcimoniosa deu uma contradição na última componente
, o que já sinaliza que não existe
. Calcular o rotacional e mostrar que ele não é zero é uma verificação direta e algébrica que confirma a não-conservatividade. Então a resposta final é simples e segura: a força dada NÃO é conservativa, portanto não existe função energia potencial
tal que
.
Resposta
A força não é conservativa — não existe função energia potencial
tal que
.