Das forças dadas abaixo, determine quais são forças conservativas e para as que forem, determine qual a expressão da energia potencial da qual elas (as conservativas) podem ser derivadas. Confirme sua resposta determinando a força referente a função energia potencial calculada: \vec{F}=-\vec{\nabla} U.
\vec{F}=a \rho^{2} \cos \varphi \hat{\rho}+a \rho^{2} \sin \varphi \hat{\varphi}+2 a z^{2} \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá a força em coordenadas cilíndricas e pede para identificar se ela é conservativa e, se for, encontrar uma função energia potencial U tal que
\vec{F}=-\vec{\nabla} U.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
\vec{F}=a\,\rho^{2}\cos\varphi\,\hat{\rho}+a\,\rho^{2}\sin\varphi\,\hat{\varphi}+2a\,z^{2}\,\hat{k}.
As perguntas a responder:
  1. A força é conservativa?
  2. Se for, qual é U(\rho,\varphi,z)?
  3. Confirmar calculando \vec{F}=-\nabla U (quando aplicável).

Passo 2

O que significa “força conservativa” e como testar isto (explicação didática e fórmula que vou usar):
  • Uma força \vec{F} é conservativa se existe uma função escalar U (energia potencial) definida no domínio considerado tal que \vec{F}=-\nabla U. Intuitivamente, isso significa que a integral de \vec{F} entre dois pontos independe do caminho.
  • Um teste prático: em um domínio simplesmente conexo, \vec{F} é conservativa se e somente se o rotacional (curl) de \vec{F} é zero:
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}.
  • Posso calcular o rotacional diretamente em coordenadas cilíndricas usando a fórmula (útil quando o campo está dado em componentes \hat\rho,\hat\varphi,\hat k):
(\nabla\times\vec{F})_\rho=\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_\varphi}{\partial z},
(\nabla\times\vec{F})_\varphi=\frac{\partial F_\rho}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial\rho},
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho F_\varphi)}{\partial\rho}-\frac{\partial F_\rho}{\partial\varphi}\right).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao campo dado. (Se quiser, também posso verificar convertendo para componentes cartesianas — farei isso depois como confirmação.)

Passo 3

Calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas (cálculos explícitos, sem pular etapas).
Primeiro identifico os componentes:
F_\rho = a\,\rho^{2}\cos\varphi,\qquad F_\varphi = a\,\rho^{2}\sin\varphi,\qquad F_z = 2a\,z^{2}.
Agora as derivadas necessárias.
Componente \rho:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_z}{\partial\varphi}=\frac{1}{\rho}\cdot 0=0\quad\text{(pois \(F_z\) independe de \(\varphi\))},
\frac{\partial F_\varphi}{\partial z}=0\quad\text{(pois \(F_\varphi\) independe de \(z\))},
logo
(\nabla\times\vec{F})_\rho=0-0=0.
Componente \varphi:
\frac{\partial F_\rho}{\partial z}=0\quad\text{(pois \(F_\rho\) independe de \(z\))},
\frac{\partial F_z}{\partial\rho}=\frac{\partial(2a z^2)}{\partial\rho}=0,
logo
(\nabla\times\vec{F})_\varphi=0-0=0.
Componente z:
\rho F_\varphi = \rho\cdot a\,\rho^{2}\sin\varphi = a\,\rho^{3}\sin\varphi,
\frac{\partial(\rho F_\varphi)}{\partial\rho} = \frac{\partial\big(a\,\rho^{3}\sin\varphi\big)}{\partial\rho}=3a\,\rho^{2}\sin\varphi,
\frac{\partial F_\rho}{\partial\varphi}=\frac{\partial\big(a\,\rho^{2}\cos\varphi\big)}{\partial\varphi}=-a\,\rho^{2}\sin\varphi.
Agora aplico a fórmula:
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{1}{\rho}\Big(3a\,\rho^{2}\sin\varphi - (-a\,\rho^{2}\sin\varphi)\Big) =\frac{1}{\rho}\big(4a\,\rho^{2}\sin\varphi\big)=4a\,\rho\sin\varphi.
Portanto o rotacional é
\vec{\nabla}\times\vec{F}=0\,\hat{\rho}+0\,\hat{\varphi}+4a\,\rho\sin\varphi\,\hat{k}.
Esse resultado é, em geral, não nulo (por exemplo, para \varphi=\pi/2 temos \sin\varphi=1 e o componente z é 4a\rho\neq0 salvo a=0 ou \rho=0). Como o rotacional não é identicamente zero no domínio (o espaço inteiro é simplesmente conexo), a força não é conservativa.

Passo 4

Confirmação alternativa convertendo o campo para coordenadas cartesianas (verificação didática).
Lembrando que \hat\rho=\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{\jmath} e \hat\varphi=-\sin\varphi\,\hat{\imath}+\cos\varphi\,\hat{\jmath}, e que \rho\cos\varphi=x,\\ \rho\sin\varphi=y. Faço as combinações:
F_x = F_\rho\cos\varphi - F_\varphi\sin\varphi = a\rho^{2}\cos\varphi\cos\varphi - a\rho^{2}\sin\varphi\sin\varphi = a\rho^{2}\cos 2\varphi.
Mas \rho^{2}\cos 2\varphi = x^{2}-y^{2}, logo
F_x = a(x^{2}-y^{2}).
Analogamente,
F_y = F_\rho\sin\varphi + F_\varphi\cos\varphi = a\rho^{2}(2\sin\varphi\cos\varphi)=a\rho^{2}\sin 2\varphi = 2a\,xy.
E
F_z = 2a z^{2}.
Portanto, em cartesianas:
\vec{F} = a(x^{2}-y^{2})\,\hat{\imath} + 2a\,xy\,\hat{\jmath} + 2a z^{2}\,\hat{k}.
Calculo o rotacional em cartesianas (componente a componente):
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} =\frac{\partial(2a xy)}{\partial x}-\frac{\partial\big(a(x^{2}-y^{2})\big)}{\partial y} =2a y - (-2a y)=4a y.
Isso é equivalente ao resultado anterior porque y=\rho\sin\varphi, então (\nabla\times\vec{F})_z=4a y = 4a\rho\sin\varphi. Confirmação concluída: rotacional não nulo.

Passo 5

Conclusão lógica e tentativa curta de ver onde falha a existência de U (didática).
  • Como \vec{\nabla}\times\vec{F}\neq\vec{0} em geral no domínio (espaço inteiro), não existe uma função potencial global U(\rho,\varphi,z) tal que \vec{F}=-\nabla U.
  • Para ilustrar a inconsistência ao tentar construir U: se tentarmos integrar F_x=-\partial U/\partial x em cartesianas, obteríamos uma expressão de U que ao derivarmos em relação a y não coincide com -F_y. Isso mostra na prática que os termos não são compatíveis com um mesmo U.

Resposta

A força não é conservativa (pois \vec{\nabla}\times\vec{F}=4a\,\rho\sin\varphi\,\hat{k}\neq\vec{0} em geral); portanto não existe uma energia potencial U global tal que \vec{F}=-\nabla U.

Exercícios relacionados