Das forças dadas abaixo, determine quais são forças conservativas e para as que forem, determine qual a expressão da energia potencial da qual elas (as conservativas) podem ser derivadas. Confirme sua resposta determinando a força referente a função energia potencial calculada:
.
Passo 1
O enunciado dá a força em coordenadas cilíndricas e pede para identificar se ela é conservativa e, se for, encontrar uma função energia potencial
tal que
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
As perguntas a responder:
- A força é conservativa?
- Se for, qual é
? - Confirmar calculando
(quando aplicável).
Passo 2
O que significa “força conservativa” e como testar isto (explicação didática e fórmula que vou usar):
- Uma força
é conservativa se existe uma função escalar (energia potencial) definida no domínio considerado tal que . Intuitivamente, isso significa que a integral de entre dois pontos independe do caminho. - Um teste prático: em um domínio simplesmente conexo,
é conservativa se e somente se o rotacional (curl) de é zero:
- Posso calcular o rotacional diretamente em coordenadas cilíndricas usando a fórmula (útil quando o campo está dado em componentes
):
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao campo dado. (Se quiser, também posso verificar convertendo para componentes cartesianas — farei isso depois como confirmação.)
Passo 3
Calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas (cálculos explícitos, sem pular etapas).
Primeiro identifico os componentes:
Primeiro identifico os componentes:
Agora as derivadas necessárias.
Componente
:
logo
Componente
:
logo
Componente
:
Agora aplico a fórmula:
Portanto o rotacional é
Esse resultado é, em geral, não nulo (por exemplo, para
temos
e o componente
é
salvo
ou
). Como o rotacional não é identicamente zero no domínio (o espaço inteiro é simplesmente conexo), a força não é conservativa.
Passo 4
Confirmação alternativa convertendo o campo para coordenadas cartesianas (verificação didática).
Lembrando que e
, e que
. Faço as combinações:
Lembrando que
Mas
, logo
Analogamente,
E
Portanto, em cartesianas:
Calculo o rotacional em cartesianas (componente a componente):
Isso é equivalente ao resultado anterior porque
, então
. Confirmação concluída: rotacional não nulo.
Passo 5
Conclusão lógica e tentativa curta de ver onde falha a existência de
(didática).
- Como
em geral no domínio (espaço inteiro), não existe uma função potencial global tal que . - Para ilustrar a inconsistência ao tentar construir
: se tentarmos integrar em cartesianas, obteríamos uma expressão de que ao derivarmos em relação a não coincide com . Isso mostra na prática que os termos não são compatíveis com um mesmo .
Resposta
A força não é conservativa (pois
em geral); portanto não existe uma energia potencial
global tal que
.