. (Symon 3.38) Mostre que
é uma força conservativa, mostrando por cálculo direto que a integral
ao longo de qualquer caminho entre
e
depende somente de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a força radial
onde
é a distância ao origem e
é o versor radial. Pede-se para mostrar que a integral de linha
ao longo de qualquer caminho suave que leva
a
depende somente de
e
(isto é, é independente do caminho).
Informações relevantes dadas:
O caminho é arbitrário (suave) conectando
a
.
Passo 2
Parametrizo o caminho por uma função suave
com
,
,
. A integral de linha escreve-se como
Substituindo
obtemos
Agora o passo-chave é relacionar
com a derivada temporal de
.
Passo 3
Calculo
. Como
temos
. Diferenciando em
:
Dividindo por
(assumindo
; se passar pela origem o argumento pode ser tratado por continuidade), resulta
Portanto temos a identidade muito útil
Passo 4
Voltando à integral, substituímos a expressão encontrada:
Isto é exatamente uma integral de variável composta; fazendo a mudança de variável
(ou reconhecendo que a integrand é
onde
), obtemos
Como
e
, a integral depende somente destes valores escalares de
, isto é, somente das distâncias dos pontos ao origem. Em particular, não depende do caminho entre
e
.
Passo 5
Interpretação como potencial: defina a primitiva
entendida como qualquer antiderivada de
. Então por derivação radial
Logo
é gradiente de um potencial escalar e, por definição, é conservativa. A integral de linha entre
e
é
Passo 6
Pequeno exemplo para fixar a intuição: se
(campo gravitacional ou eletrostático radial ideial), então
e a integral entre
e
é
, mostrando claramente dependência apenas das distâncias dos pontos ao origem.
Resposta
onde
. Portanto
é conservativa.