. (Symon 3.38) Mostre que \vec{F}=F(r) \hat{r} é uma força conservativa, mostrando por cálculo direto que a integral \int_{\mathbf{r}_{1}}^{\mathbf{r}_{2}} \vec{F} \cdot d \vec{r} ao longo de qualquer caminho entre \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2} depende somente de \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a força radial
\vec{F} = F(r)\,\hat{r},
onde r = \lVert \vec{r}\rVert é a distância ao origem e \hat{r}=\vec r/r é o versor radial. Pede-se para mostrar que a integral de linha
\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec F\cdot d\vec r
ao longo de qualquer caminho suave que leva \vec r_1 a \vec r_2 depende somente de \vec r_1 e \vec r_2 (isto é, é independente do caminho).
Informações relevantes dadas:
\vec{F}(\vec r)=F(r)\,\hat r,\qquad r=\lVert\vec r\rVert,\qquad \hat r=\frac{\vec r}{r}.
O caminho é arbitrário (suave) conectando \vec r_1 a \vec r_2.

Passo 2

Parametrizo o caminho por uma função suave \vec r(t) com t\in[a,b], \vec r(a)=\vec r_1, \vec r(b)=\vec r_2. A integral de linha escreve-se como
\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F\cdot d\vec r=\int_{a}^{b} \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt.
Substituindo \vec F(\vec r(t))=F(r(t))\,\hat r(t) obtemos
\int_{a}^{b} F(r(t))\,\hat r(t)\cdot \vec r\,'(t)\,dt.
Agora o passo-chave é relacionar \hat r\cdot \vec r\,' com a derivada temporal de r(t).

Passo 3

Calculo \dfrac{d}{dt}r(t). Como r(t)=\lVert \vec r(t)\rVert temos r(t)^2=\vec r(t)\cdot\vec r(t). Diferenciando em t:
2r(t)\,\frac{dr}{dt}=2\,\vec r(t)\cdot\vec r\,'(t).
Dividindo por 2r(t) (assumindo r(t)\neq 0; se passar pela origem o argumento pode ser tratado por continuidade), resulta
\frac{dr}{dt}=\frac{\vec r(t)\cdot\vec r\,'(t)}{r(t)}=\hat r(t)\cdot\vec r\,'(t).
Portanto temos a identidade muito útil
\hat r(t)\cdot\vec r\,'(t)=\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Voltando à integral, substituímos a expressão encontrada:
\int_{a}^{b} F(r(t))\,\hat r(t)\cdot \vec r\,'(t)\,dt=\int_{a}^{b} F(r(t))\,\frac{dr}{dt}\,dt.
Isto é exatamente uma integral de variável composta; fazendo a mudança de variável u=r(t) (ou reconhecendo que a integrand é \dfrac{d}{dt}G(r(t)) onde G'\!=\!F), obtemos
\int_{a}^{b} F(r(t))\,\frac{dr}{dt}\,dt=\int_{r(a)}^{r(b)} F(r)\,dr.
Como r(a)=\lVert\vec r_1\rVert e r(b)=\lVert\vec r_2\rVert, a integral depende somente destes valores escalares de r, isto é, somente das distâncias dos pontos ao origem. Em particular, não depende do caminho entre \vec r_1 e \vec r_2.

Passo 5

Interpretação como potencial: defina a primitiva
G(r)=\int^{r} F(s)\,ds,
entendida como qualquer antiderivada de F. Então por derivação radial
\nabla G(r)=G'(r)\,\hat r=F(r)\,\hat r=\vec F(\vec r).
Logo \vec F=\nabla G é gradiente de um potencial escalar e, por definição, é conservativa. A integral de linha entre \vec r_1 e \vec r_2 é
G(\lVert\vec r_2\rVert)-G(\lVert\vec r_1\rVert).

Passo 6

Pequeno exemplo para fixar a intuição: se F(r)=k/r^2 (campo gravitacional ou eletrostático radial ideial), então
G(r)=\int k r^{-2}dr=-\frac{k}{r}+C,
e a integral entre \vec r_1 e \vec r_2 é -k/\lVert\vec r_2\rVert + k/\lVert\vec r_1\rVert, mostrando claramente dependência apenas das distâncias dos pontos ao origem.

Resposta

\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F\cdot d\vec r=\int_{\lVert\vec r_1\rVert}^{\lVert\vec r_2\rVert}F(r)\,dr=G(\lVert\vec r_2\rVert)-G(\lVert\vec r_1\rVert),
onde G(r)=\displaystyle\int^{r}F(s)\,ds. Portanto \vec F=F(r)\hat r é conservativa.

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