Uma partícula de massa 2,0 kg se move em um campo de força dependente do tempo dado por: F=24 t^2 imath+(36 t- 16) jmath-12 t k. Assumindo que para t=0, a partícula está localizada em r0=3 imath-jmath+4 k e tem velocidade v0=6 imath+ 15 jmath-8 k. (a) Ache a velocidade e a (b) posição para um tempo t qualquer.
Resposta: (a)

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: uma partícula de massa m = 2,0 kg sujeita a uma força que varia com o tempo
F(t)=24,t^2;hatimath;+;(36,t-16);hatjmath;-;12,t;hat k
No instante t=0 ela está em
r0=3,hatimath;-;hatjmath;+;4,hat k
e sua velocidade inicial é
v0=6,hatimath;+;15,hatjmath;-;8,hat k
Conteúdo: mecânica clássica – 2ª lei de Newton e integração para achar velocidade e posição. Vamos usar
1) $ \mathbf{a}(t)=\mathbf{F}(t)/m$
2) a(t)=F(t)/m
3) v(t)=integral a(t),dt + v0.

Passo 2

Aplicando a 2ª lei de Newton componente a componente:
ax(t)=Fxm=24,t^22=12,t^2,
ay(t)=36,t-162=18,t-8,
az(t)=-12,t2=-6,t

Passo 3

Agora integramos a(t) para achar v(t). Lembra que ao integrar a derivada da velocidade a gente pega uma constante de integração, que ajustamos usando v(0)=v0:
Para x:
vx(t)=integral 12,t^2,dt=12cdott^33+Cx=4,t^3+Cx
Como vx(0)=6implies Cx=6, fica
vx(t)=4,t^3+6
Para y:
vy(t)=integral (18,t-8),dt=18cdott^22-8t+Cy=9,t^2-8t+Cy,
e como vy(0)=15implies Cy=15, então
vy(t)=9,t^2-8t+15
Para z:
vz(t)=integral(-6,t),dt=-6cdott^22+Cz=-3,t^2+Cz,
e vz(0)=-8implies Cz=-8, logo
vz(t)=-3,t^2-8

Passo 4

Por fim integramos v(t) para achar r(t), ajustando com r(0)=r0:
Para x:
rx(t)=integral(4,t^3+6),dt=4cdott^44+6t+C'x=t^4+6t+C'x,
como rx(0)=3implies C'x=3, então
rx(t)=t^4+6t+3
Para y:
ry(t)=integral(9,t^2-8t+15),dt=9cdott^33-8cdott^22+15t+C'y=3,t^3-4,t^2+15t+C'y,
e ry(0)=-1implies C'y=-1, logo
ry(t)=3,t^3-4,t^2+15t-1
Para z:
rz(t)=integral(-3,t^2-8),dt=-3cdott^33-8t+C'z=-t^3-8t+C'z,
com rz(0)=4implies C'z=4, então
rz(t)=-t^3-8t+4

Resposta

(a) v(t)=l(4,t^3+6r),hatimath;+;l(9,t^2-8t+15r),hatjmath;+;l(-3,t^2-8r),hat k
(b) $

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