Se a, b, c e d forem constantes tais que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+\operatorname{sen}(b x)+\operatorname{sen}(c x)+\operatorname{sen}(d x)}{3 x^{2}+5 x^{4}+7 x^{6}}=8
encontre o valor da soma a+b+c+d.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{a x^{2}+\operatorname{sen}(bx)+\operatorname{sen}(cx)+\operatorname{sen}(dx)}{3x^{2}+5x^{4}+7x^{6}}=8
Devemos usar expansões em série de Taylor para \operatorname{sen}(kx) e o comportamento de quocientes de polinômios em x\to0.

Passo 2

Para o limite ser finito, o termo de menor ordem no numerador deve ser x^{2}. Mas
\operatorname{sen}(bx)+\operatorname{sen}(cx)+\operatorname{sen}(dx)=(b+c+d)x-\frac{b^{3}+c^{3}+d^{3}}{6}\,x^{3}+\cdots
Logo, o coeficiente de x tem de ser zero, isto é,
b+c+d=0.

Passo 3

Com b+c+d=0, o numerador passa a ter termo dominante a x^{2} e o denominador dominante 3x^{2}. Assim,
\frac{a x^{2}+\operatorname{sen}(bx)+\operatorname{sen}(cx)+\operatorname{sen}(dx)}{3x^{2}+5x^{4}+7x^{6}} =\frac{x^{2}\bigl(a+O(x^{2})\bigr)}{x^{2}\bigl(3+O(x^{2})\bigr)} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\frac{a}{3}.

Passo 4

Como o limite dado vale 8, temos
\frac{a}{3}=8 \quad\Longrightarrow\quad a=24.

Passo 5

Finalmente,
a+b+c+d=24+(b+c+d)=24+0=24.

Resposta

24

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