Uma função
é periódica de período
se
para todo
. Mostre que:
Se
for contínua e periódica, então
é limitada e atinge seus extremos.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que
é contínua e periódica de período
, ou seja,
Queremos mostrar que
é limitada e atinge seus extremos (máximo e mínimo) em
. Para isso, usaremos o Teorema do Valor Extremo (Teorema de Weierstrass) aplicado a uma só revolução do período.
Passo 2
Escolhemos um intervalo de uma revolução de comprimento
, por exemplo
. Como
é contínua em
, ela é contínua em
, que é compacto.
Passo 3
Pelo Teorema de Weierstrass, a restrição de
a
é limitada e atinge valor mínimo e máximo. Logo existem pontos
tais que
Passo 4
Para todo
existe um inteiro
tal que
. Então, pela periodicidade,
Isso mostra que
para todo
, ou seja,
é limitada.
Passo 5
Além disso, para cada
os pontos
são pontos onde
Portanto,
atinge globalmente seus extremos
e
.
Resposta
A função
é limitada e atinge seus extremos em
.