Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é periódica de período T \neq 0 se f(x+T)=f(x) para todo x. Mostre que:
Se f for contínua e periódica, então f é limitada e atinge seus extremos.

Passo 1

O enunciado afirma que f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e periódica de período T\neq0, ou seja,
f(x+T)=f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que f é limitada e atinge seus extremos (máximo e mínimo) em \mathbb{R}. Para isso, usaremos o Teorema do Valor Extremo (Teorema de Weierstrass) aplicado a uma só revolução do período.

Passo 2

Escolhemos um intervalo de uma revolução de comprimento T, por exemplo [0,T]. Como f é contínua em \mathbb{R}, ela é contínua em [0,T], que é compacto.

Passo 3

Pelo Teorema de Weierstrass, a restrição de f a [0,T] é limitada e atinge valor mínimo e máximo. Logo existem pontos x_m,x_M\in[0,T] tais que
m=f(x_m)=\min_{[0,T]}f \quad\text{e}\quad M=f(x_M)=\max_{[0,T]}f.

Passo 4

Para todo x\in\mathbb{R} existe um inteiro k tal que x-kT\in[0,T]. Então, pela periodicidade,
f(x)=f\bigl((x-kT)+kT\bigr)=f(x-kT)\in[m,M].
Isso mostra que m\le f(x)\le M para todo x, ou seja, f é limitada.

Passo 5

Além disso, para cada n\in\mathbb{Z} os pontos
x_m+nT \quad\text{e}\quad x_M+nT
são pontos onde
f(x_m+nT)=f(x_m)=m \quad\text{e}\quad f(x_M+nT)=f(x_M)=M.
Portanto, f atinge globalmente seus extremos m e M.

Resposta

A função f é limitada e atinge seus extremos em \mathbb{R}.

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