Use aproximação linear para estimar o número dado.
(2,001)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para estimar (2,001)^{3} usando aproximação linear (linearização). O conteúdo envolvido é a noção de diferencial ou linearização de uma função suave. Vamos usar a função
f(x)=x^{3}
e aproximar f(2{+}\Delta x) para \Delta x=0,001.

Passo 2

A linearização de f em torno de x_{0} diz que
f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0}) + f'(x_{0})\,\Delta x.
Aqui escolhemos x_{0}=2 e \Delta x=0,001. Primeiro calculamos
f(2)=2^{3}=8,
e a derivada
f'(x)=3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad f'(2)=3\cdot2^{2}=12.
Logo,
(2{,}001)^{3}=f(2+0{,}001)\approx8 + 12\cdot0{,}001.

Passo 3

Calculando a correção:
12\cdot0{,}001=0{,}012,
então
(2{,}001)^{3}\approx8 + 0{,}012=8{,}012.

Resposta

A aproximação linear dá (2,001)^{3}\approx8,012.

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