Resolva as seguintes EDOs pelo método da separação:
9 y y^{\prime}+4 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
9\,y\,y' + 4\,x = 0
pelo método de separação de variáveis. Vamos achar a solução geral y(x).

Passo 2

Reescrevendo a derivada como \displaystyle y' = \frac{dy}{dx}, temos
9\,y\,\frac{dy}{dx} + 4\,x = 0
e isolamos a derivada:
9\,y\,\frac{dy}{dx} = -4\,x \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = -\frac{4\,x}{9\,y}.
Agora separamos as variáveis y de um lado e x do outro:
y\,dy = -\frac{4}{9}\,x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int \Bigl(-\tfrac{4}{9}\,x\Bigr)\,dx
\frac{y^2}{2} = -\frac{4}{9}\,\frac{x^2}{2} + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 para simplificar,
y^2 = -\frac{4}{9}\,x^2 + C_1,
com C_1 = 2C. Podemos reorganizar em forma implícita
y^2 + \frac{4}{9}\,x^2 = C_1
e, se quisermos a forma explícita,
y(x) = \pm \sqrt{\,C_1 - \frac{4}{9}\,x^2\,}.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y^2 + \frac{4}{9}\,x^2 = C_1,
ou explicitamente por
y(x) = \pm \sqrt{C_1 - \frac{4}{9}\,x^2},
onde C_1 é constante arbitrária.

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