Que forma deveria apresentar o gráfico
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta: “Que forma deveria apresentar o gráfico
? Justifique.”
Informações fornecidas: apenas essa pergunta isolada — não foi enviada a curva de nem a de
. Portanto só podemos trabalhar com as relações matemáticas entre posição, velocidade e aceleração e tirar conclusões gerais sobre a forma do gráfico de
em função de
.
Informações fornecidas: apenas essa pergunta isolada — não foi enviada a curva de
Passo 2
Definição e relação fundamental (aula rápida e necessária). Vou explicar o que é cada coisa e como se relacionam, porque isso é a chave para saber a forma do gráfico de
:
A posição é , a velocidade é
e a aceleração é
. Elas se relacionam por derivadas:
A posição é
Aqui:
é o tempo,
é a posição no tempo
,
é a velocidade no tempo
e
é a aceleração no tempo
. A aceleração é, portanto, a taxa de variação da velocidade — o quanto a velocidade está subindo ou descendo por unidade de tempo.
Passo 3
Como passar do gráfico de
para o gráfico de
(regra prática para a prova).
- Em cada instante
, é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de naquele ponto. - Em linguagem de limite:
Na prática, para esboçar
a partir de um gráfico de
você mede a inclinação de
ponto a ponto e plota esse valor como altura no gráfico de
.
Passo 4
Consequências imediatas (exemplos simples e úteis para a prova). Estes exemplos mostram como a forma de
determina a forma de
:
- Se
é constante, isto é com constante, então
Logo o gráfico de
é a linha horizontal em
.
- Se
é linear, isto é com constantes, então
Logo o gráfico de
é uma linha horizontal constante igual à inclinação
(constante não nula se
).
- Se
é quadrática, por exemplo , então
ou seja,
é uma reta passando pela origem (função linear). Em geral, se
é polinômio de grau
, então
será um polinômio de grau
.
- Se
for uma função senoidal, por exemplo , então
ou seja,
é também senoidal, com mesma frequência e defasagem de fase.
Estes exemplos são bons para a prova porque permitem responder rápido: identifique o tipo de
e aplique a derivada.
Passo 5
Casos com descontinuidades e cantos (o que observar no gráfico).
- Se o gráfico de
tem um canto (uma mudança abrupta de inclinação), a derivada em geral não existe naquele ponto; portanto estará indefinida no ponto do canto. Em física idealizada isso corresponderia a uma aceleração não definida (ou a uma aceleração muito grande num intervalo muito curto). - Se
tem saltos (descontinuidade de valor), então o modelo clássico de aceleração pela derivada indica uma singularidade (matematicamente uma distribuição tipo delta) — em provas básicas você deve dizer que não há derivada no ponto do salto. - Se
é diferenciável e sua derivada é contínua, então será uma função contínua e sem “quebras”.
Passo 6
Como justificar succinctamente numa prova (modelo de resposta curta e direta).
Primeiro diga a identidade matemática:
Explique em uma frase: “Logo, o gráfico de
é o gráfico das inclinações das tangentes ao gráfico de
.” Em seguida, dê um exemplo óbvio (ex.: se
é linear,
é constante) para ilustrar. Termine observando que sem o gráfico ou a expressão de
não é possível dar uma forma numérica específica de
.
Resposta
O gráfico de
em função de
deve ser o gráfico da derivada de
, isto é
portanto o gráfico de
representa, em cada
, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
. Exemplos: se
é constante então
(linha horizontal), se
então
(constante), se
então
(reta), e assim por diante; se
tem cantos ou saltos a derivada (logo
) não existe nesses pontos.