Que forma deveria apresentar o gráfico a=f(t) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Que forma deveria apresentar o gráfico a=f(t) ? Justifique.”
Informações fornecidas: apenas essa pergunta isolada — não foi enviada a curva de v(t) nem a de x(t). Portanto só podemos trabalhar com as relações matemáticas entre posição, velocidade e aceleração e tirar conclusões gerais sobre a forma do gráfico de a em função de t.

Passo 2

Definição e relação fundamental (aula rápida e necessária). Vou explicar o que é cada coisa e como se relacionam, porque isso é a chave para saber a forma do gráfico de a:
A posição é x(t), a velocidade é v(t) e a aceleração é a(t). Elas se relacionam por derivadas:
v(t)=\frac{dx}{dt}
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}
Aqui: t é o tempo, x(t) é a posição no tempo t, v(t) é a velocidade no tempo t e a(t) é a aceleração no tempo t. A aceleração é, portanto, a taxa de variação da velocidade — o quanto a velocidade está subindo ou descendo por unidade de tempo.

Passo 3

Como passar do gráfico de v(t) para o gráfico de a(t) (regra prática para a prova).
  • Em cada instante t, a(t) é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de v(t) naquele ponto.
  • Em linguagem de limite:
a(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}.
Na prática, para esboçar a=f(t) a partir de um gráfico de v(t) você mede a inclinação de v(t) ponto a ponto e plota esse valor como altura no gráfico de a.

Passo 4

Consequências imediatas (exemplos simples e úteis para a prova). Estes exemplos mostram como a forma de v(t) determina a forma de a(t):
  • Se v(t) é constante, isto é v(t)=C com C constante, então
a(t)=\frac{d}{dt}C=0.
Logo o gráfico de a é a linha horizontal em a=0.
  • Se v(t) é linear, isto é v(t)=mt+b com m,b constantes, então
a(t)=\frac{d}{dt}(mt+b)=m.
Logo o gráfico de a é uma linha horizontal constante igual à inclinação m (constante não nula se m\neq 0).
  • Se v(t) é quadrática, por exemplo v(t)=t^{2}, então
a(t)=\frac{d}{dt}t^{2}=2t,
ou seja, a(t) é uma reta passando pela origem (função linear). Em geral, se v é polinômio de grau n, então a será um polinômio de grau n-1.
  • Se v(t) for uma função senoidal, por exemplo v(t)=\sin t, então
a(t)=\cos t,
ou seja, a é também senoidal, com mesma frequência e defasagem de fase.
Estes exemplos são bons para a prova porque permitem responder rápido: identifique o tipo de v(t) e aplique a derivada.

Passo 5

Casos com descontinuidades e cantos (o que observar no gráfico).
  • Se o gráfico de v(t) tem um canto (uma mudança abrupta de inclinação), a derivada em geral não existe naquele ponto; portanto a(t) estará indefinida no ponto do canto. Em física idealizada isso corresponderia a uma aceleração não definida (ou a uma aceleração muito grande num intervalo muito curto).
  • Se v(t) tem saltos (descontinuidade de valor), então o modelo clássico de aceleração pela derivada indica uma singularidade (matematicamente uma distribuição tipo delta) — em provas básicas você deve dizer que não há derivada no ponto do salto.
  • Se v(t) é diferenciável e sua derivada é contínua, então a(t) será uma função contínua e sem “quebras”.

Passo 6

Como justificar succinctamente numa prova (modelo de resposta curta e direta).
Primeiro diga a identidade matemática: a(t)=\frac{dv}{dt}.
Explique em uma frase: “Logo, o gráfico de a é o gráfico das inclinações das tangentes ao gráfico de v.” Em seguida, dê um exemplo óbvio (ex.: se v é linear, a é constante) para ilustrar. Termine observando que sem o gráfico ou a expressão de v(t) não é possível dar uma forma numérica específica de a(t).

Resposta

O gráfico de a em função de t deve ser o gráfico da derivada de v, isto é
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}},
portanto o gráfico de a representa, em cada t, a inclinação da reta tangente ao gráfico de v(t). Exemplos: se v(t) é constante então a(t)=0 (linha horizontal), se v(t)=mt+b então a(t)=m (constante), se v(t)=t^{2} então a(t)=2t (reta), e assim por diante; se v(t) tem cantos ou saltos a derivada (logo a) não existe nesses pontos.

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