Qual seria o significado físico da área sob o gráfico v=f(t) ? Qual sua unidade? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas: (1) qual é o significado físico da área sob o gráfico v=f(t) e (2) qual é a unidade dessa área. As informações implícitas são: temos uma função v=f(t) que dá a velocidade em função do tempo; t representa tempo (unidade de tempo, por exemplo \text{s}); v representa velocidade (unidade de velocidade, por exemplo \text{m/s}). Não há outros dados numéricos específicos no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar o que é velocidade e como ela se relaciona com a posição. Se x(t) é a posição do móvel ao tempo t, a definição de velocidade escalar instantânea é
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Aqui eu explico cada símbolo:
  • x(t) é a posição (por exemplo em \text{m});
  • t é o tempo (em \text{s});
  • v(t) é a velocidade instantânea (em \text{m/s});
  • \frac{dx}{dt} significa a derivada de x em relação a t, isto é, a taxa de variação da posição por unidade de tempo.

Passo 3

A partir de v(t)=\dfrac{dx}{dt} podemos integrar em um intervalo de tempo [t_1,t_2]. Integrando os dois lados em relação a t obtemos
\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{dx}{dt}\,dt.
No lado direito, a operação \int_{t_1}^{t_2}\dfrac{dx}{dt}\,dt simplifica para a diferença de posição (teorema fundamental do cálculo), isto é
\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = x(t_2)-x(t_1)=\Delta x.
Portanto, a integral (que geometricamente corresponde à área sob a curva v=f(t) entre t_1 e t_2) é exatamente o deslocamento \Delta x do móvel nesse intervalo.

Passo 4

Explico a intuição geométrica com somas de retângulos (Riemann): se dividimos [t_1,t_2] em pequenos intervalos de largura \Delta t e aproximamos a área por retângulos de altura v(t_i^*), a soma é
\sum_i v(t_i^*)\,\Delta t.
Essa soma tem a dimensão de (\text{unidade de }v)\times(\text{unidade de }t). Quando fazemos \Delta t\to0 essa soma converge para a integral \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt, que é a área sob a curva. Assim a área representa a soma (acumulada) de pequenas variações de posição v(t)\,\Delta t, ou seja, o deslocamento total.

Passo 5

Falei em “deslocamento” e é importante distinguir dois conceitos:
  • Deslocamento (quantidade assinada): \Delta x=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt. Aqui a integral considera sinais: quando v(t)>0 a contribuição é positiva; quando v(t)<0 a contribuição é negativa. O resultado é a variação da posição (pode ser positiva, negativa ou zero).
  • Distância percorrida (comprimento do trajeto): é a soma das magnitudes das contribuições, isto é \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt. Essa integral dá sempre um valor não negativo e representa a distância total percorrida, sem cancelar trechos em sentidos opostos.

Passo 6

Unidade pela análise dimensional: se v tem unidade \text{m/s} e t tem unidade \text{s}, então a área (produto unidade de v por unidade de t) tem unidade
\frac{\text{m}}{\text{s}}\times\text{s}=\text{m}.
Ou seja, a unidade da área é a mesma da posição: metros ( \text{m}). Um exemplo numérico simples para fixar: se v(t)=3\\ \text{m/s} constante entre t_1=2\\ \text{s} e t_2=5\\ \text{s}, a área é
\int_{2}^{5} 3\,dt = 3\cdot(5-2)=9\\ \text{m},
logo o deslocamento nesse intervalo foi 9\\ \text{m}.

Resposta

A área sob o gráfico v=f(t) entre t_1 e t_2 representa o deslocamento \displaystyle \Delta x=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.
A unidade da área é a unidade de posição (por exemplo \text{m}).

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