Qual seria o significado físico da área sob o gráfico
? Qual sua unidade? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas: (1) qual é o significado físico da área sob o gráfico
e (2) qual é a unidade dessa área. As informações implícitas são: temos uma função
que dá a velocidade em função do tempo;
representa tempo (unidade de tempo, por exemplo
);
representa velocidade (unidade de velocidade, por exemplo
). Não há outros dados numéricos específicos no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar o que é velocidade e como ela se relaciona com a posição. Se
é a posição do móvel ao tempo
, a definição de velocidade escalar instantânea é
Aqui eu explico cada símbolo:
-
é a posição (por exemplo em ); -
é o tempo (em ); -
é a velocidade instantânea (em ); -
significa a derivada de em relação a , isto é, a taxa de variação da posição por unidade de tempo.
Passo 3
A partir de
podemos integrar em um intervalo de tempo
. Integrando os dois lados em relação a
obtemos
No lado direito, a operação
simplifica para a diferença de posição (teorema fundamental do cálculo), isto é
Portanto, a integral (que geometricamente corresponde à área sob a curva
entre
e
) é exatamente o deslocamento
do móvel nesse intervalo.
Passo 4
Explico a intuição geométrica com somas de retângulos (Riemann): se dividimos
em pequenos intervalos de largura
e aproximamos a área por retângulos de altura
, a soma é
Essa soma tem a dimensão de
. Quando fazemos
essa soma converge para a integral
, que é a área sob a curva. Assim a área representa a soma (acumulada) de pequenas variações de posição
, ou seja, o deslocamento total.
Passo 5
Falei em “deslocamento” e é importante distinguir dois conceitos:
- Deslocamento (quantidade assinada):
. Aqui a integral considera sinais: quando a contribuição é positiva; quando a contribuição é negativa. O resultado é a variação da posição (pode ser positiva, negativa ou zero). - Distância percorrida (comprimento do trajeto): é a soma das magnitudes das contribuições, isto é
. Essa integral dá sempre um valor não negativo e representa a distância total percorrida, sem cancelar trechos em sentidos opostos.
Passo 6
Unidade pela análise dimensional: se
tem unidade
e
tem unidade
, então a área (produto unidade de
por unidade de
) tem unidade
Ou seja, a unidade da área é a mesma da posição: metros (
). Um exemplo numérico simples para fixar: se
constante entre
e
, a área é
logo o deslocamento nesse intervalo foi
.
Resposta
A área sob o gráfico
entre
e
representa o deslocamento
.
A unidade da área é a unidade de posição (por exemplo ).
A unidade da área é a unidade de posição (por exemplo