O que representaria a área sob o gráfico a=f(t) ? Qual seria a sua unidade? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas: (1) o que representa a área sob o gráfico a=f(t) (ou seja, a área entre a curva y=f(t) e o eixo t, num intervalo de tempo) e (2) qual seria a unidade dessa área. As informações dadas são apenas que a é uma função de t: a=f(t). Não há valores numéricos nem intervalo explícito, então vamos falar em termos gerais entre dois instantes quaisquer t_1 e t_2.

Passo 2

Ideia básica e definição matemática: a área sob a curva y=f(t) entre t_1 e t_2 é o limite de somas de retângulos (soma de Riemann). Dividimos o intervalo [t_1,t_2] em n pedaços de largura \Delta t_i, escolhemos um ponto t_i^* em cada subintervalo e somamos as áreas dos retângulos de altura f(t_i^*) e base \Delta t_i. Na forma limite isso vira a integral definida
\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,dt = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(t_i^*)\,\Delta t_i.
Aqui explique o que cada símbolo significa: t é a variável (por exemplo tempo), f(t) é o valor da função no instante t, \Delta t_i é um pequeno intervalo de tempo, t_i^* é um ponto dentro desse intervalo, e a soma vai, no limite, dar a área exata abaixo da curva no intervalo considerado.

Passo 3

Interpretação física/intuitiva: cada retângulo tem área aproximada f(t_i^*)\cdot\Delta t_i. Assim, somando e passando ao limite, a integral acumula (soma) infinitesimalmente as contribuições f(t)\,dt. Portanto, a área sob a=f(t) entre t_1 e t_2 representa a quantidade acumulada de a ao longo do tempo entre esses instantes — isto é, a variação total (ou o “acúmulo líquido”) da grandeza a no período. Em termos práticos: a integral dá o total que foi “produzido”, “transportado” ou “acumulado” por a no intervalo de tempo.

Passo 4

Exemplos concretos para fixar (ajuda muito na prova):
  • Se a(t) for a velocidade v(t) em metros por segundo, isto é a=v com unidade \mathrm{m/s}, então
\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt
é o deslocamento (variação de posição) em metros. Por quê? Cada pedaço pequeno v(t)\,\Delta t tem unidade \mathrm{m/s}\times\mathrm{s}=\mathrm{m} e representa o deslocamento naquele intervalo pequeno; somando dá o deslocamento total.
  • Se a(t) for a aceleração a(t) em \mathrm{m/s}^2, então
\int_{t_1}^{t_2} a(t)\,dt
é a variação de velocidade em \mathrm{m/s}.
  • Se a(t) for vazão volumétrica em litros por segundo ( \mathrm{L/s}), a integral dá volume em litros.
Esses exemplos mostram a regra prática da unidade: unidade da área = unidade de a multiplicada pela unidade de t.

Passo 5

Observação sobre sinal e área absoluta: a integral definida \int_{t_1}^{t_2} f(t)\,dt dá a área “assinada” — valores onde f(t)>0 contribuem positivamente e onde f(t)<0 contribuem negativamente (representando acumulação em sentido oposto). Se quisermos a área geométrica total (sempre positiva), usamos \int_{t_1}^{t_2} |f(t)|\,dt.

Passo 6

Unidade de maneira formal: cada termo f(t_i^*)\,\Delta t_i tem unidade
[\text{unidade de }f]\times[\text{unidade de }t].
No limite, a integral herda essa unidade. Assim, a unidade da área sob a=f(t) é o produto da unidade de a pela unidade de t.

Resposta

A área sob o gráfico a=f(t) entre t_1 e t_2 representa a quantidade acumulada (a variação total) de a no intervalo de tempo [t_1,t_2]; matematicamente é \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,dt.
A unidade da área é o produto da unidade de a pela unidade de t (por exemplo, se a é velocidade em \mathrm{m/s} e t é segundos, a unidade da área é \mathrm{m}).

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