O que representaria a área sob o gráfico
? Qual seria a sua unidade? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas: (1) o que representa a área sob o gráfico
(ou seja, a área entre a curva
e o eixo
, num intervalo de tempo) e (2) qual seria a unidade dessa área. As informações dadas são apenas que
é uma função de
:
. Não há valores numéricos nem intervalo explícito, então vamos falar em termos gerais entre dois instantes quaisquer
e
.
Passo 2
Ideia básica e definição matemática: a área sob a curva
entre
e
é o limite de somas de retângulos (soma de Riemann). Dividimos o intervalo
em
pedaços de largura
, escolhemos um ponto
em cada subintervalo e somamos as áreas dos retângulos de altura
e base
. Na forma limite isso vira a integral definida
Aqui explique o que cada símbolo significa:
é a variável (por exemplo tempo),
é o valor da função no instante
,
é um pequeno intervalo de tempo,
é um ponto dentro desse intervalo, e a soma vai, no limite, dar a área exata abaixo da curva no intervalo considerado.
Passo 3
Interpretação física/intuitiva: cada retângulo tem área aproximada
. Assim, somando e passando ao limite, a integral acumula (soma) infinitesimalmente as contribuições
. Portanto, a área sob
entre
e
representa a quantidade acumulada de
ao longo do tempo entre esses instantes — isto é, a variação total (ou o “acúmulo líquido”) da grandeza
no período. Em termos práticos: a integral dá o total que foi “produzido”, “transportado” ou “acumulado” por
no intervalo de tempo.
Passo 4
Exemplos concretos para fixar (ajuda muito na prova):
- Se
for a velocidade em metros por segundo, isto é com unidade , então
é o deslocamento (variação de posição) em metros. Por quê? Cada pedaço pequeno
tem unidade
e representa o deslocamento naquele intervalo pequeno; somando dá o deslocamento total.
- Se
for a aceleração em , então
é a variação de velocidade em
.
- Se
for vazão volumétrica em litros por segundo ( ), a integral dá volume em litros.
Esses exemplos mostram a regra prática da unidade: unidade da área = unidade de
multiplicada pela unidade de
.
Passo 5
Observação sobre sinal e área absoluta: a integral definida
dá a área “assinada” — valores onde
contribuem positivamente e onde
contribuem negativamente (representando acumulação em sentido oposto). Se quisermos a área geométrica total (sempre positiva), usamos
.
Passo 6
Unidade de maneira formal: cada termo
tem unidade
No limite, a integral herda essa unidade. Assim, a unidade da área sob
é o produto da unidade de
pela unidade de
.
Resposta
A área sob o gráfico
entre
e
representa a quantidade acumulada (a variação total) de
no intervalo de tempo
; matematicamente é
.
A unidade da área é o produto da unidade de pela unidade de
(por exemplo, se
é velocidade em
e
é segundos, a unidade da área é
).
A unidade da área é o produto da unidade de