Forma escalonada por linhas Nos Exercícios 27-30, determine se a matriz está na forma escalonada por linhas. Se estiver, determine se ela também está na forma escalonada reduzida.
[llll1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 1
e pede para verificar duas coisas:
  1. se A está na forma escalonada por linhas (FEL), ou seja,
    – todas as linhas nulas (se houver) ficam embaixo das não nulas,
    – o primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha está à direita do pivô da linha de cima,
    – abaixo de cada pivô só há zeros;
  2. se, além disso, ela está na forma escalonada reduzida por linhas (FER), o que exige ainda que cada pivô seja 1 e seja o único elemento não zero em sua coluna.

Passo 2

Primeiro conferimos as duas primeiras condições da FEL:
– Não há linha completamente nula acima de uma linha não nula (todas as três linhas são não nulas).
– O pivô da linha 1 está em coluna 1, o da linha 2 em coluna 2 e o da linha 3 em coluna 4. Cada pivô aparece mais à direita que o da linha anterior.

Passo 3

Agora vemos se abaixo de cada pivô só há zeros:
– Abaixo do pivô em coluna 1 (linha 1) temos zeros em (2,1) e (3,1).
– Abaixo do pivô em coluna 2 (linha 2) temos zero em (3,2).
– Abaixo do pivô em coluna 4 (linha 3) não há linhas abaixo.
Logo, a condição de zeros abaixo de cada pivô também vale. Concluímos que A está na forma escalonada por linhas.

Passo 4

Para a forma escalonada reduzida por linhas precisaríamos que cada pivô fosse 1 (já são) e que, em cada coluna de pivô, todos os outros elementos fossem zero. Olhando a coluna 4, onde está o pivô da linha 3, vemos que A1,4=1 e A2,4=1, ou seja, existem não zeros acima desse pivô. Portanto, A não está na forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

A matriz está na forma escalonada por linhas, mas não está na forma escalonada por linhas reduzida.

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