Forma escalonada por linhas Nos Exercícios 27-30, determine se a matriz está na forma escalonada por linhas. Se estiver, determine se ela também está na forma escalonada reduzida.
Passo 1
Temos a matriz
A = -1 & 2 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
e queremos verificar se ela está em forma escalonada por linhas (REF) e, caso positivo, se está também em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Lembrando os requisitos:
Forma escalonada por linhas (REF):
(i) Todas as linhas nulas, se houver, estão abaixo das não-nulas.
(ii) O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não-nula está à direita do pivô da linha imediatamente acima.
(iii) Todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros.
Forma escalonada reduzida por linhas (RREF):
Além das condições da REF, deve satisfazer:
(iv) Cada pivô vale 1.
(v) Em cada coluna de pivô, todos os outros elementos (acima e abaixo) são zeros.
Passo 2
Verificação da REF em A:
– A linha 1 é (-1,2,1), linha 2 é (0,1,0), linha 3 é (0,0,1). Não há linhas nulas, logo (i) está ok.
– O pivô da linha 1 aparece na coluna 1, o da linha 2 na coluna 2 e o da linha 3 na coluna 3, cada um à direita do pivô da linha de cima; logo (ii) está ok.
– Observando cada pivô, todos os elementos abaixo dele são zeros: abaixo de -1 (coluna 1) vêm zeros, abaixo de 1 (coluna 2) vem zero, e abaixo de 1 (coluna 3) não há linhas; logo (iii) está ok.
Portanto A está em forma escalonada por linhas.
Passo 3
Verificação adicional da RREF em A:
– O pivô da linha 1 vale -1, não 1, o que já viola (iv).
– Além disso, na coluna do pivô da linha 2 (coluna 2) existe o elemento 2 acima dele, diferente de zero, violando (v).
Logo A não está em forma escalonada reduzida por linhas.
Resposta
A matriz está em forma escalonada por linhas, mas não está em forma escalonada reduzida por linhas.