Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
\lim _{x \rightarrow c^{-}} f^{\prime}(x)=+\infty ; \lim _{x \rightarrow c^{+}} f^{\prime}(x)=0 ; f^{\prime \prime}(x)>0 se x<c; f^{\prime \prime}(x)<0 se x>c

Passo 1

O enunciado pede para descrever o formato do gráfico de uma função f em torno de um ponto x=c quando valem as seguintes propriedades. Primeiro, \lim_{x\to c^-}f'(x)=+\infty, ou seja, ao chegar em c pela esquerda a inclinação cresce sem limite. Segundo, \lim_{x\to c^+}f'(x)=0, ou seja, ao sair de c pela direita a inclinação tende a zero. Além disso, para x<c temos f''(x)>0 (concavidade para cima) e para x>c temos f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 2

Analisando \lim_{x\to c^-}f'(x)=+\infty e f''(x)>0 para x<c: concavidade para cima significa que, aproximando-se de c pela esquerda, a reta tangente vai ficando cada vez mais inclinada para cima. Como f'(x)\to+\infty, essa reta tangente torna-se vertical em c vista da esquerda.
Analisando \lim_{x\to c^+}f'(x)=0 e f''(x)<0 para x>c: concavidade para baixo significa que, partindo de c para a direita, a reta tangente vai “abaixando” a inclinação. Como f'(x)\to0, essa reta tangente torna-se horizontal em c vista da direita.

Passo 3

Juntando os dois lados, o gráfico de f é contínuo em c e apresenta uma transição de concavidade (infleção) em c. No lado esquerdo a curva se aproxima verticalmente, no lado direito ela “desce” até ficar quase horizontal antes de curvar-se para baixo.
O resultado é uma inflexão assimétrica: de concavidade para cima à esquerda com tangente vertical em c, passando por c, e de concavidade para baixo à direita com tangente horizontal em c.

Resposta

O gráfico é uma curva que, ao aproximar-se de x=c pela esquerda, é côncava para cima e sua reta tangente fica vertical (inclinação infinita), e ao sair de x=c pela direita, é côncava para baixo e sua reta tangente fica horizontal (inclinação zero). Esse ponto c funciona como ponto de inflexão com tangentes distintas em cada lado.

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