Encontre os extremos relativos da função abaixo, utilizando o teste da derivada segunda. Quais os valore de x para obter o máximo e mínimo relativo.
Passo 1
O enunciado pede encontrar os extremos relativos de
usando o teste da derivada segunda. Para isso vamos determinar o domínio de
, calcular
e
, achar os pontos críticos e então classificar cada um.
Passo 2
O domínio de
é
Agora calculamos a derivada primeira usando a regra do produto e a derivada de
:
A condição
dá
que pertence ao domínio.
Passo 3
Agora calculamos a derivada segunda. Podemos derivar
pela regra do produto e da potência, chegando a
Avaliamo-la em
:
Passo 4
Como
, a função é côncava para cima em
, logo ali há um mínimo relativo. Além disso, não há nenhum outro ponto crítico no domínio e o sinal de
muda de negativo (para
) para positivo (para
), confirmando o mínimo. Não surge nenhum ponto onde haja máximo relativo.
Resposta
Mínimo relativo em
; não existe máximo relativo.