Encontre os extremos relativos da função abaixo, utilizando o teste da derivada segunda. Quais os valore de x para obter o máximo e mínimo relativo.
h(x)=x \sqrt{x+3}

Passo 1

O enunciado pede encontrar os extremos relativos de h(x)=x\sqrt{x+3} usando o teste da derivada segunda. Para isso vamos determinar o domínio de h, calcular h'(x) e h''(x), achar os pontos críticos e então classificar cada um.

Passo 2

O domínio de h é
x+3\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge -3.
Agora calculamos a derivada primeira usando a regra do produto e a derivada de \sqrt{x+3}:
h'(x) =\sqrt{x+3}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+3}} =\frac{2(x+3)+x}{2\sqrt{x+3}} =\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}.
A condição h'(x)=0
3(x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2,
que pertence ao domínio.

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda. Podemos derivar
h'(x)=\frac{3}{2}(x+2)(x+3)^{-\tfrac12}
pela regra do produto e da potência, chegando a
h''(x) =\frac{3(x+4)}{4\,(x+3)^{3/2}}.
Avaliamo-la em x=-2:
h''(-2) =\frac{3(-2+4)}{4\,( -2+3)^{3/2}} =\frac{6}{4\cdot1} =\tfrac{3}{2}>0.

Passo 4

Como h''(-2)>0, a função é côncava para cima em x=-2, logo ali há um mínimo relativo. Além disso, não há nenhum outro ponto crítico no domínio e o sinal de h'(x) muda de negativo (para x<-2) para positivo (para x>-2), confirmando o mínimo. Não surge nenhum ponto onde haja máximo relativo.

Resposta

Mínimo relativo em x=-2; não existe máximo relativo.

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