(3,0 pontos)
Encontre a solução da equação do calor usando 0 método de separação de variáveís, justificando todas às etapas do método, determine a solução não nula da equação diferencial parcial.
\left\{\begin{array}{l} 5 u_{x x}=u_{t} \quad \text { se }, 0 \leq x<1 \quad t>0 \\\ u(0, t)=u(1, t)=0 \\\ u(x, 0)=\operatorname{sen}(2 \pi x)-5 \operatorname{sen}(7 \pi x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
5\,u_{xx} = u_{t},\quad 0\le x\le1,\\ t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=u(1,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=\operatorname{sen}(2\pi x)-5\,\operatorname{sen}(7\pi x).
O método é separação de variáveis: vamos supor que
u(x,t)=X(x)\,T(t)
e justificar cada etapa.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) na PDE, obtemos
5\,X''(x)\,T(t) = X(x)\,T'(t).
Dividindo por 5\,X(x)\,T(t) (assumindo X,T\neq0) vem
\frac{T'(t)}{5\,T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,
onde \lambda é a constante de separação. Assim temos dois ODEs:
\begin{cases} X''(x) + \lambda\,X(x)=0,\\\ T'(t) + 5\lambda\,T(t)=0. \end{cases}

Passo 3

As condições de contorno u(0,t)=0 e u(1,t)=0 impõem
X(0)=0,\quad X(1)=0.
A solução não-trivial de
X'' + \lambda X=0,\quad X(0)=X(1)=0
existe somente se
\lambda_n = (n\pi)^2,\quad n=1,2,3,\dots
e os modos próprios são
X_n(x) = \sin(n\pi x).

Passo 4

Para cada \lambda_n, a equação temporal é
T_n'(t) + 5(n\pi)^2\,T_n(t)=0,
cuja solução geral é
T_n(t) = C_n\,e^{-5(n\pi)^2\,t},
onde C_n é constante a determinar pela condição inicial.

Passo 5

Pela linearidade da PDE, a solução geral é combinação linear dos modos:
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n\,e^{-5(n\pi)^2 t}\,\sin(n\pi x).
Na condição inicial u(x,0)=\sum C_n\sin(n\pi x) deve coincidir com
\operatorname{sen}(2\pi x)-5\,\operatorname{sen}(7\pi x).
Como \{\sin(n\pi x)\} são ortogonais em [0,1], os coeficientes C_n são dados pela expansão de Fourier.

Passo 6

Observando a forma de u(x,0), temos apenas dois termos não nulos:
u(x,0)=\operatorname{sen}(2\pi x)-5\,\operatorname{sen}(7\pi x) =\;1\cdot\sin(2\pi x)\;+\;(-5)\cdot\sin(7\pi x).
Logo
C_2 = 1, \quad C_7 = -5, \quad C_n = 0\quad\text{para }n\neq2,7.

Resposta

A solução não nula é
\boxed{ u(x,t) = e^{-5(2\pi)^2\,t}\,\sin(2\pi x) \;-\;5\,e^{-5(7\pi)^2\,t}\,\sin(7\pi x). }

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