(3,0 pontos)
Encontre a solução da equação do calor usando 0 método de separação de variáveís, justificando todas às etapas do método, determine a solução não nula da equação diferencial parcial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
O método é separação de variáveis: vamos supor que
e justificar cada etapa.
Passo 2
Substituindo
na PDE, obtemos
Dividindo por
(assumindo
) vem
onde
é a constante de separação. Assim temos dois ODEs:
Passo 3
As condições de contorno
e
impõem
A solução não-trivial de
existe somente se
e os modos próprios são
Passo 4
Para cada
, a equação temporal é
cuja solução geral é
onde
é constante a determinar pela condição inicial.
Passo 5
Pela linearidade da PDE, a solução geral é combinação linear dos modos:
Na condição inicial
deve coincidir com
Como
são ortogonais em
, os coeficientes
são dados pela expansão de Fourier.
Passo 6
Observando a forma de
, temos apenas dois termos não nulos:
Logo
Resposta
A solução não nula é