Qual forma a lei de Fourier assume em cada direção ortogonal dos sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico? Em cada caso, quais são as unidades do gradiente de temperatura? Você pode escrever cada equação de memória?

Passo 1

O enunciado pede a forma da lei de Fourier em cada direção ortogonal para os sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico, além de identificar as unidades do gradiente de temperatura em cada caso. Vamos usar a expressão geral da lei de Fourier e as fórmulas do operador gradiente em cada sistema.

Passo 2

A lei de Fourier em forma vetorial é
\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T
onde \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor (unidade \rm W/m^2), k é a condutividade térmica (unidade \rm W/(m\cdot K)) e \nabla T é o gradiente de temperatura.

Passo 3

No sistema cartesiano (x,y,z) o gradiente de temperatura é
\nabla T = \mathbf{e}_x\,\frac{\partial T}{\partial x} +\mathbf{e}_y\,\frac{\partial T}{\partial y} +\mathbf{e}_z\,\frac{\partial T}{\partial z}
Logo, as componentes da lei de Fourier são
q_x = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial x},\quad q_y = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial y},\quad q_z = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial z}.
Cada derivada \partial T/\partial x, \partial T/\partial y ou \partial T/\partial z tem unidade de \rm K/m.

Passo 4

No sistema cilíndrico (r,\varphi,z) o gradiente é
\nabla T = \mathbf{e}_r\,\frac{\partial T}{\partial r} +\mathbf{e}_\varphi\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial T}{\partial \varphi} +\mathbf{e}_z\,\frac{\partial T}{\partial z}
Portanto
q_r = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial r},\quad q_\varphi = -\,k\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial T}{\partial \varphi},\quad q_z = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial z}.
A derivada \partial T/\partial r tem unidade \rm K/m, mas \partial T/\partial\varphi vale \rm K/rad; ao dividir por r (em metros), q_\varphi também fica com gradiente em \rm K/m.

Passo 5

No sistema esférico (r,\theta,\varphi) o gradiente é
\nabla T = \mathbf{e}_r\,\frac{\partial T}{\partial r} +\mathbf{e}_\theta\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial T}{\partial \theta} +\mathbf{e}_\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial T}{\partial \varphi}
Logo
q_r = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial r},\quad q_\theta = -\,k\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial T}{\partial \theta},\quad q_\varphi = -\,k\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial T}{\partial \varphi}.
Aqui \partial T/\partial\theta e \partial T/\partial\varphi valem \rm K/rad, e o fator 1/r ou 1/(r\sin\theta) garante que todas as componentes do gradiente fiquem em \rm K/m.

Resposta

Cartesiano:
q_x = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial x},\quad q_y = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial y},\quad q_z = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial z},
unidade do gradiente \rm K/m.
Cilíndrico:
q_r = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial r},\quad q_\varphi = -\,k\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial T}{\partial \varphi},\quad q_z = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial z},
unidade do gradiente \rm K/m.
Esférico:
q_r = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial r},\quad q_\theta = -\,k\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial T}{\partial \theta},\quad q_\varphi = -\,k\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial T}{\partial \varphi},
unidade do gradiente \rm K/m.

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