Qual forma a lei de Fourier assume em cada direção ortogonal dos sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico? Em cada caso, quais são as unidades do gradiente de temperatura? Você pode escrever cada equação de memória?
Passo 1
O enunciado pede a forma da lei de Fourier em cada direção ortogonal para os sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico, além de identificar as unidades do gradiente de temperatura em cada caso. Vamos usar a expressão geral da lei de Fourier e as fórmulas do operador gradiente em cada sistema.
Passo 2
A lei de Fourier em forma vetorial é
onde
é o vetor fluxo de calor (unidade
),
é a condutividade térmica (unidade
) e
é o gradiente de temperatura.
Passo 3
No sistema cartesiano
o gradiente de temperatura é
Logo, as componentes da lei de Fourier são
Cada derivada
,
ou
tem unidade de
.
Passo 4
No sistema cilíndrico
o gradiente é
Portanto
A derivada
tem unidade
, mas
vale
; ao dividir por
(em metros),
também fica com gradiente em
.
Passo 5
No sistema esférico
o gradiente é
Logo
Aqui
e
valem
, e o fator
ou
garante que todas as componentes do gradiente fiquem em
.
Resposta
Cartesiano:
unidade do gradiente
.
Cilíndrico:
unidade do gradiente
.
Esférico:
unidade do gradiente
.