Na formulação geral da lei de Fourier (aplicável em qualquer geometria), quais são as grandezas vetoriais e escalares? Por que há um sinal de menos no lado direito desta equação?
Passo 1
O enunciado pede que a gente examine a formulação geral da lei de Fourier, que em coordenadas arbitrárias vale
e responda (a) quais quantidades aí são vetoriais e quais são escalares e (b) por que aparece o sinal de menos. Vamos usar conceitos de gradiente de temperatura, fluxo de calor e a segunda lei da termodinâmica.
Passo 2
Definindo os termos na equação
–
é o vetor densidade de fluxo de calor (energia por unidade de área por unidade de tempo), com direção e sentido do fluxo de calor.
– é o campo escalar de temperatura (uma função escalar definida em cada ponto do material).
– é o gradiente de temperatura, que é um vetor apontando na direção de máximo aumento de
.
– é a condutividade térmica. Em meios isotrópicos
é um escalar positivo; em meios anisotrópicos
torna‐se um tensor de segunda ordem
, mas continua sendo uma “quantidade não vetorial” no sentido de que não carrega direção própria além das direções definidas pelos eixos do material.
–
–
–
Passo 3
Classificação vetorial versus escalar:
– Vetoriais:
(fluxo de calor)
(gradiente de temperatura)
– Escalares (ou, no caso anisotrópico, tensoriais mas sem componente vetorial intrínseco):
(temperatura)
(condutividade térmica)
– Vetoriais:
– Escalares (ou, no caso anisotrópico, tensoriais mas sem componente vetorial intrínseco):
Passo 4
Origem do sinal de menos:
Segundo a segunda lei da termodinâmica, o calor flui espontaneamente das regiões de maior temperatura para as de menor temperatura. Mas o gradiente aponta para onde
cresce. Para que
vá no sentido de queda de
, introduz‐se um sinal negativo, ou seja,
é anti‐paralelo a
. Isso garante fluxo de calor na direção do decréscimo de temperatura e obedece ao aumento de entropia.
Segundo a segunda lei da termodinâmica, o calor flui espontaneamente das regiões de maior temperatura para as de menor temperatura. Mas o gradiente
Resposta
Vetoriais:
e
.
Escalares: e, em meio isotrópico,
(em meio anisotrópico
é um tensor de segunda ordem).
O sinal de menos aparece para indicar que o fluxo de calor vai sempre no sentido de queda de temperatura, em concordância com a segunda lei da termodinâmica.
Escalares:
O sinal de menos aparece para indicar que o fluxo de calor vai sempre no sentido de queda de temperatura, em concordância com a segunda lei da termodinâmica.