Na formulação geral da lei de Fourier (aplicável em qualquer geometria), quais são as grandezas vetoriais e escalares? Por que há um sinal de menos no lado direito desta equação?

Passo 1

O enunciado pede que a gente examine a formulação geral da lei de Fourier, que em coordenadas arbitrárias vale
\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T
e responda (a) quais quantidades aí são vetoriais e quais são escalares e (b) por que aparece o sinal de menos. Vamos usar conceitos de gradiente de temperatura, fluxo de calor e a segunda lei da termodinâmica.

Passo 2

Definindo os termos na equação
\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T
\mathbf{q} é o vetor densidade de fluxo de calor (energia por unidade de área por unidade de tempo), com direção e sentido do fluxo de calor.
T é o campo escalar de temperatura (uma função escalar definida em cada ponto do material).
\nabla T é o gradiente de temperatura, que é um vetor apontando na direção de máximo aumento de T.
k é a condutividade térmica. Em meios isotrópicos k é um escalar positivo; em meios anisotrópicos k torna‐se um tensor de segunda ordem k_{ij}, mas continua sendo uma “quantidade não vetorial” no sentido de que não carrega direção própria além das direções definidas pelos eixos do material.

Passo 3

Classificação vetorial versus escalar:
– Vetoriais:
\mathbf{q} (fluxo de calor)
\nabla T (gradiente de temperatura)
– Escalares (ou, no caso anisotrópico, tensoriais mas sem componente vetorial intrínseco):
T (temperatura)
k (condutividade térmica)

Passo 4

Origem do sinal de menos:
Segundo a segunda lei da termodinâmica, o calor flui espontaneamente das regiões de maior temperatura para as de menor temperatura. Mas o gradiente \nabla T aponta para onde T cresce. Para que \mathbf{q} vá no sentido de queda de T, introduz‐se um sinal negativo, ou seja, \mathbf{q} é anti‐paralelo a \nabla T. Isso garante fluxo de calor na direção do decréscimo de temperatura e obedece ao aumento de entropia.

Resposta

Vetoriais: \mathbf{q} e \nabla T.
Escalares: T e, em meio isotrópico, k (em meio anisotrópico k é um tensor de segunda ordem).
O sinal de menos aparece para indicar que o fluxo de calor vai sempre no sentido de queda de temperatura, em concordância com a segunda lei da termodinâmica.

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