(Hidráulica Básica - Rodrigo Porto) Uma mangueira de P.V.C., com \mathrm{L}=50 \mathrm{~m} de comprimento e \mathrm{D}=50 mm de diâmetro, é ligada a um hidrante no qual a pressão é constante. Um bocal, segundo a forma de uma contração brusca, é acoplado à extremidade de saída para aumentar a energia cinética e proporcionar ao jato d’água um alcance maior. Supondo que o coeficiente de atrito na mangueira seja constante e igual a f =0,020 e que o coeficiente de perda localizada no bocal, com relação ao trecho de menor diâmetro, segue os valores tabelados abaixo, determina o diâmetro “d” do bocal para o qual se obtém o maior alcance do jato livre.
(\mathrm{d} / \mathrm{D})^{2} 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
K 226 47,8 17,5 7,8 3,8 1,8 0,8 0,3 0,09 0

Passo 1

O enunciado pede para escolher o diâmetro do bocal que maximiza o alcance do jato livre, sabendo que a pressão no hidrante é constante, que a mangueira tem comprimento L=50\\ \mathrm m, diâmetro D=50\\ \mathrm{mm} e coeficiente de atrito f=0,02. Vamos usar a equação de energia (Bernoulli com perdas) e a continuidade do escoamento para expressar a velocidade de saída v em função do diâmetro d do bocal.

Passo 2

A partir de Bernoulli entre a seção do hidrante (pressão p, velocidade desprezível) e a saída do bocal (aberto à atmosfera com velocidade v), temos em termos de altura de carga H = p/(\rho g):
H = h_f + h_\ell + \frac{v^2}{2g},
onde h_f é a perda por atrito na mangueira e h_\ell é a perda localizada no bocal.

Passo 3

Pela continuidade, a vazão Q é a mesma em toda a linha:
Q = A_{\rm mangueira}\,v_{\rm mang} = A_{\rm bocal}\,v,
logo
v_{\rm mang} = v\,\frac{A_{\rm bocal}}{A_{\rm mangueira}} = v\,\frac{\pi d^2/4}{\pi D^2/4} = v\,\biggl(\frac{d}{D}\biggr)^{2}.
A perda por atrito é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v_{\rm mang}^2}{2g} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}\,\biggl(\frac{d}{D}\biggr)^{4},
e a perda localizada vale
h_\ell = K\,\frac{v^2}{2g},
onde K depende de (d/D)^2 conforme tabela.

Passo 4

Substituindo em Bernoulli,
H = \frac{v^2}{2g}\Bigl[1 + K + f\frac{L}{D}\bigl(\tfrac{d}{D}\bigr)^{4}\Bigr].
Como H é constante, maximizar v equivale a minimizar o denominador. Defina
x = \bigl(\tfrac{d}{D}\bigr)^{2}, \quad a = f\frac{L}{D} = 0{,}02\;\frac{50}{0{,}05}=20.
Então o fator a minimizar é
F(x) = 1 + K(x) + 20\,x^{2}.

Passo 5

Usando a tabela de K e avaliando F(x) em cada x:
\begin{array}{c|cccccccccc} x=(d/D)^{2} &0,1 &0,2 &0,3 &0,4 &0,5 &0,6 &0,7 &0,8 &0,9 &1,0\\hline K &226 &47,8&17,5&7,8 &3,8 &1,8 &0,8 &0,3 &0,09&0\\\\ 20\,x^{2} &0,2 &0,8 &1,8 &3,2 &5,0 &7,2 &9,8 &12,8&16,2&20\\hline F(x)=1+K+20x^{2}&227,2&49,6&20,3&12,0&9,8 &10,0&11,6&14,1&17,29&21 \end{array}
O valor mínimo de F(x) ocorre em x=0,5, com F(0,5)=9,8.

Passo 6

Como x=(d/D)^2=0,5, segue
\frac{d}{D} = \sqrt{0,5}=0,707,\quad d = 0,707\,D = 0,707\times50\\ \mathrm{mm}=35,36\\ \mathrm{mm}.

Resposta

O diâmetro do bocal que proporciona maior alcance é aproximadamente
d \approx 35{,}4\\ \mathrm{mm}.

Exercícios relacionados