Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo volume máximo. A questão pede para encontrar o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo para maximizar o volume do cilindro dentro do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o cone e o cilindro. Imagine que o cilindro está perfeitamente encaixado dentro do cone, tocando suas laterais e a base. A altura do cilindro será um pouco menor que a do cone, e o raio do cilindro dependerá de quão alto ou baixo ele está dentro do cone.

Passo 3

Para relacionar o raio e a altura do cilindro, usamos a semelhança de triângulos. No cone, temos um triângulo maior com altura 10 cm e base 6 cm. No ponto onde o cilindro toca o cone, temos um triângulo menor com altura e base . Pela semelhança:

Passo 4

Vamos resolver essa proporção para expressar em função de :

Passo 5

Agora, queremos maximizar o volume do cilindro, que é dado por:
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando a derivada:
Fatorando:
Resolvendo:

Passo 7

Com cm, substituímos na relação :

Resposta

O cilindro de maior volume inscrito no cone possui raio de cm e altura de cm.

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