Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo volume máximo. A questão pede para encontrar o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo para maximizar o volume do cilindro dentro do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o cone e o cilindro. Imagine que o cilindro está perfeitamente encaixado dentro do cone, tocando suas laterais e a base. A altura do cilindro será um pouco menor que a do cone, e o raio do cilindro dependerá de quão alto ou baixo ele está dentro do cone.
Passo 3
Para relacionar o raio
e a altura
do cilindro, usamos a semelhança de triângulos. No cone, temos um triângulo maior com altura 10 cm e base 6 cm. No ponto onde o cilindro toca o cone, temos um triângulo menor com altura
e base
. Pela semelhança:
Passo 4
Vamos resolver essa proporção para expressar
em função de
:
Passo 5
Agora, queremos maximizar o volume
do cilindro, que é dado por:
Substituindo
na fórmula:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando a derivada:
Fatorando:
Resolvendo:
Passo 7
Com
cm, substituímos na relação
:
Resposta
O cilindro de maior volume inscrito no cone possui raio de
cm e altura de
cm.