Problema 3. Teorema do Posto
Seja
uma função de classe
, em que
é um aberto. Vamos denotar por
o conjunto dos pontos
tais que o posto de
é igual a
.
a) Determine os conjuntos
para a função
dada por
.
b) Mostre que para toda função
de classe
, o conjunto
é denso em
, em que
.
a) Determine os conjuntos
b) Mostre que para toda função
Passo 1
O enunciado pede, para a função
dada por
que calculemos os conjuntos
e depois mostremos que, para qualquer
de
, a união
com
é densa. Vamos precisar saber como computar a jacobiana de
e usar a propriedade de que o lugar de zeros de uma função diferenciável não identicamente nula não tem interior.
Passo 2
Calculamos a diferencial
. As componentes são
Logo, em forma de matriz
,
Passo 3
Para ter
é preciso que todas as entradas de
sejam zero, ou seja
. Portanto
Passo 4
Para
queremos que as duas linhas
sejam proporcionais, mas não nulas simultaneamente. Se existir
tal que
, das coordenadas vem dois casos compatíveis:
-
obriga e . -
obriga e pelo menos um de não nulo.
Tirando o ponto zero (já em), obtemos
Passo 5
Finalmente, como a rank nunca ultrapassa
nem cai abaixo de
, temos
ou seja, todos os pontos diferentes de
que não satisfazem a condição de dependência linear acima.
Passo 6
Agora, seja
de classe
e
. Para cada
o conjunto
é aberto (basta que algum menor de ordem
da jacobiana seja não nulo). Se
satisfaz
, então ou
e
, ou
e existe algum menor de ordem
que não é identicamente zero em
. O lugar de zeros desse menor é fechado e sem interior, logo em qualquer vizinhança de
encontro ponto
onde esse menor
, ou seja
, de modo que
. Assim qualquer vizinhança de
encontra algum
, mostrando que
é denso em
.
Resposta
a)
b) Conforme o argumento acima, para cada
com
ou
então
, ou para
podemos aproximar
por pontos de rank maior, garantindo que qualquer vizinhança intersecta algum
. Logo
é denso em
.