Problema 3. Teorema do Posto

Seja f: Omega subset R^m R^n uma função de classe C^1, em que Omega é um aberto. Vamos denotar por Aj o conjunto dos pontos x in Omega tais que o posto de d f(x) é igual a j.
a) Determine os conjuntos A0, A1, ldots, An para a função f: R^n R^2 dada por f(x1, ldots, xn)=(x1^2+x2^2+ldots+xn^2, x1^2-(x2^2+ldots+xn^2)).
b) Mostre que para toda função f: Omega subset R^m R^n de classe C^1, o conjunto int(A0) cup int(A1) cup ldots cup int(Ap) é denso em Omega, em que p=min m, n.

Passo 1

O enunciado pede, para a função f:R^ntoR^2 dada por
f(x1,dots,xn)=l(x1^2+cdots+xn^2,;x1^2-(x2^2+cdots+xn^2)r),
que calculemos os conjuntos
Aj=xinR^nmidrankd f(x)=j, j=0,1,2
e depois mostremos que, para qualquer C^1 de R^mtoR^n, a união
int(A0)cupcdotscupint(Ap) com p=minm,n é densa. Vamos precisar saber como computar a jacobiana de f e usar a propriedade de que o lugar de zeros de uma função diferenciável não identicamente nula não tem interior.

Passo 2

Calculamos a diferencial d f(x). As componentes são
partial f1partial xi=2xi, partial f2partial x1=2x1, partial f2partial xi=-2xi;;(i>=2)
Logo, em forma de matriz 2times n,
d f(x) = 2 x1 & x2 & cdots & xn x1 & -x2 & cdots & -xn

Passo 3

Para ter rankd f(x)=0 é preciso que todas as entradas de d f(x) sejam zero, ou seja x1=x2=cdots=xn=0. Portanto
A0=0

Passo 4

Para rankd f(x)=1 queremos que as duas linhas
r1=(x1,x2,dots,xn), r2=(x1,-x2,dots,-xn)
sejam proporcionais, mas não nulas simultaneamente. Se existir lambda tal que r2=lambda r1, das coordenadas vem dois casos compatíveis:
  • lambda=1 obriga x2=cdots=xn=0 e x1neq0.
  • lambda=-1 obriga x1=0 e pelo menos um de x2,dots,xn não nulo.
    Tirando o ponto zero (já em A0), obtemos
A1 = l(x1,0,dots,0)colon x1neq0r ;cup; l(0,x2,dots,xn)colon (x2,dots,xn)neq0r

Passo 5

Finalmente, como a rank nunca ultrapassa 2 nem cai abaixo de 0, temos
A2 = R^nsetminusl(A0cup A1r),
ou seja, todos os pontos diferentes de 0 que não satisfazem a condição de dependência linear acima.

Passo 6

Agora, seja f:OmegasubsetR^mtoR^n de classe C^1 e p=minm,n. Para cada j<= p o conjunto x:rankd f(x)>= j é aberto (basta que algum menor de ordem j da jacobiana seja não nulo). Se x satisfaz rankd f(x)=r, então ou r=p e xinint(Ap), ou r<p e existe algum menor de ordem r+1 que não é identicamente zero em Omega. O lugar de zeros desse menor é fechado e sem interior, logo em qualquer vizinhança de x encontro ponto y onde esse menor neq0, ou seja rankd f(y)>= r+1, de modo que yinint(Ar+1). Assim qualquer vizinhança de x encontra algum int(Aj), mostrando que
int(A0)cupcdotscupint(Ap)
é denso em Omega.

Resposta

a)
A0=0, A1 =l(x1,0,dots,0):x1neq0r cup l(0,x2,dots,xn):(x2,dots,xn)neq0r, A2=R^nsetminus(A0cup A1)
b) Conforme o argumento acima, para cada x com rankd f(x)=r ou r=p então xinint(Ap), ou para r<p podemos aproximar x por pontos de rank maior, garantindo que qualquer vizinhança intersecta algum int(Aj). Logo cupj=0^pint(Aj) é denso em Omega.

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