Uma forma de onda de tensão com período de 5 s é expressa como:
No intervalo
. Determine o valor eficaz da forma de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma onda de tensão que varia no tempo com um período de 5 segundos, expressa pela função:
O que precisamos encontrar é o valor eficaz dessa forma de onda no intervalo de 0 a 5 segundos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais e conceito de valor eficaz (ou RMS - Root Mean Square), que nos ajuda a encontrar um valor “médio” eficaz de uma tensão que varia no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor eficaz. O valor eficaz de uma tensão periódica é aquele valor contínuo de tensão constante que produziria a mesma potência média em uma carga resistiva que a tensão variável. Matematicamente, é calculado pela raiz quadrada da média do quadrado da função de tensão ao longo de um período. A fórmula é:
Onde:
- $ V_{eficaz} $ é o valor eficaz,
- $ T $ é o período da onda (no nosso caso, 5 segundos),
- $ v(t) $ é a função de tensão em função do tempo.
Passo 3
Vamos analisar a função $ v(t) $ dada:
Aqui, $ u(t) $ é a função degrau unitário, que vale 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $. Então:
- $ u(t) - u(t-2) $ é 1 para $ 0 < t < 2 $ e 0 caso contrário.
- $ u(t-3) - u(t-5) $ é 1 para $ 3 < t < 5 $ e 0 caso contrário.
Isso significa que a função $ v(t) $ é:
- $ v(t) = 10t $ para $ 0 < t < 2 $ segundos,
- $ v(t) = 0 $ para $ 2 < t < 3 $ segundos,
- $ v(t) = 16 e^{-0,5(t-3)} $ para $ 3 < t < 5 $ segundos.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ [v(t)]^2 $ para cada intervalo:
-
Para $ 0 < t < 2 $:
-
Para $ 2 < t < 3 $:
-
Para $ 3 < t < 5 $:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ [v(t)]^2 $ sobre o período $ T = 5 $ segundos:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 6
Calculando a primeira integral:
Passo 7
A segunda integral é zero:
Passo 8
Calculando a terceira integral:
Fazendo a substituição $ u = t - 3 $, então $ du = dt $ e quando $ t = 3 $, $ u = 0 $; quando $ t = 5 $, $ u = 2 $.
Passo 9
Somando todas as integrais:
Passo 10
Agora, vamos aplicar a fórmula do valor eficaz:
Resposta
O valor eficaz da forma de onda é aproximadamente 9,88 V.