Uma forma de onda de tensão com período de 5 s é expressa como:
v(t)=10 t[u(t)-u(t-2)]+16 e^-0,5(t-3)[u(t-3)-u(t-5)]
No intervalo 0. Determine o valor eficaz da forma de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma onda de tensão que varia no tempo com um período de 5 segundos, expressa pela função:
v(t) = 10 t [u(t) - u(t-2)] + 16 e^-0,5(t-3) [u(t-3) - u(t-5)]
O que precisamos encontrar é o valor eficaz dessa forma de onda no intervalo de 0 a 5 segundos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais e conceito de valor eficaz (ou RMS - Root Mean Square), que nos ajuda a encontrar um valor “médio” eficaz de uma tensão que varia no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor eficaz. O valor eficaz de uma tensão periódica é aquele valor contínuo de tensão constante que produziria a mesma potência média em uma carga resistiva que a tensão variável. Matematicamente, é calculado pela raiz quadrada da média do quadrado da função de tensão ao longo de um período. A fórmula é:
Veficaz = raiz1T integral0^T [v(t)]^2 dt
Onde:
  • $ V_{eficaz} $ é o valor eficaz,
  • $ T $ é o período da onda (no nosso caso, 5 segundos),
  • $ v(t) $ é a função de tensão em função do tempo.

Passo 3

Vamos analisar a função $ v(t) $ dada:
v(t)
Aqui, $ u(t) $ é a função degrau unitário, que vale 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $. Então:
  • $ u(t) - u(t-2) $ é 1 para $ 0 < t < 2 $ e 0 caso contrário.
  • $ u(t-3) - u(t-5) $ é 1 para $ 3 < t < 5 $ e 0 caso contrário.
Isso significa que a função $ v(t) $ é:
  • $ v(t) = 10t $ para $ 0 < t < 2 $ segundos,
  • $ v(t) = 0 $ para $ 2 < t < 3 $ segundos,
  • $ v(t) = 16 e^{-0,5(t-3)} $ para $ 3 < t < 5 $ segundos.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ [v(t)]^2 $ para cada intervalo:
  1. Para $ 0 < t < 2 $:
    [v(t)]^2
  2. Para $ 2 < t < 3 $:
    0 < t < 2
  3. Para $ 3 < t < 5 $:
    [v(t)]^2 = (10t)^2 = 100 t^2

Passo 5

Agora, vamos integrar $ [v(t)]^2 $ sobre o período $ T = 5 $ segundos:
[v(t)]^2
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 6

Calculando a primeira integral:
integral0^2 100 t^2 dt = 100 integral0^2 t^2 dt = 100 [ t^33 ]0^2 = 100 ( 83 - 0 ) = 8003 approx 266,67 , s·V^2

Passo 7

A segunda integral é zero:
integral2^3 0 dt = 0

Passo 8

Calculando a terceira integral:
Fazendo a substituição $ u = t - 3 $, então $ du = dt $ e quando $ t = 3 $, $ u = 0 $; quando $ t = 5 $, $ u = 2 $.
u = t - 3

Passo 9

Somando todas as integrais:
integral0^5 [v(t)]^2 dt approx 266,67 + 0 + 221,04 = 487,71 , s·V^2

Passo 10

Agora, vamos aplicar a fórmula do valor eficaz:
Veficaz = raiz1T integral0^T [v(t)]^2 dt = raiz15 × 487,71 = raiz97,542 approx 9,88 , V

Resposta

O valor eficaz da forma de onda é aproximadamente 9,88 V.

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