Sejam
e
fatores de potência antes de se corrigir e depois da correção, respectivamente. Sejam P a potência real consumida pela carga e
a freqüência de operação do sistema. Prove que:
Em que C é a capacitância a ser posta em paralelo com o sistema com o intuito de corrigir seu fator de potência para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre correção do fator de potência em sistemas elétricos. Aqui, temos que θ_velho e θ_novo são os fatores de potência antes e depois da correção, respectivamente. Sabemos que P é a potência real consumida pela carga e ω é a frequência de operação do sistema. Nosso objetivo é provar a fórmula que relaciona a capacitância C necessária para corrigir o fator de potência para θ_novo. Para resolver isso, vamos precisar entender como o fator de potência funciona e como a capacitância influencia nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fator de potência. O fator de potência (FP) é a relação entre a potência real § e a potência aparente (S) em um sistema elétrico, dado por:
onde θ é o ângulo de fase entre a corrente e a tensão. Um FP menor que 1 indica que há presença de potência reativa no sistema.
Passo 3
A potência aparente S é dada por:
E a potência real P é:
Podemos relacionar a corrente antes e depois da correção do fator de potência.
Passo 4
Antes da correção, temos:
Depois da correção, com a capacitância C adicionada, o fator de potência melhora para θ_novo:
Passo 5
A diferença entre as correntes antes e depois da correção é devido à corrente fornecida pela capacitância. A reatância capacitiva X_C é:
E a corrente capacitiva I_C é:
Passo 6
Para corrigi o fator de potência, a corrente capacitiva deve compensar a corrente indutiva existente. Assim, podemos relacionar as tangentes dos ângulos:
Antes da correção:
Depois da correção:
Passo 7
A corrente reativa após a correção é a diferença entre a corrente reativa original e a corrente capacitiva:
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Sabemos que:
E de antes:
Substituindo na equação do Passo 7:
Passo 9
Agora, substituímos I_C por sua expressão em termos de C:
Resolvendo para C:
Passo 10
Isolando C:
Simplificando a expressão: