Sejam theta velho e theta novo fatores de potência antes de se corrigir e depois da correção, respectivamente. Sejam P a potência real consumida pela carga e omega a freqüência de operação do sistema. Prove que:
C=P tan theta velho -tan theta novo omega Vrms
Em que C é a capacitância a ser posta em paralelo com o sistema com o intuito de corrigir seu fator de potência para theta novo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre correção do fator de potência em sistemas elétricos. Aqui, temos que θ_velho e θ_novo são os fatores de potência antes e depois da correção, respectivamente. Sabemos que P é a potência real consumida pela carga e ω é a frequência de operação do sistema. Nosso objetivo é provar a fórmula que relaciona a capacitância C necessária para corrigir o fator de potência para θ_novo. Para resolver isso, vamos precisar entender como o fator de potência funciona e como a capacitância influencia nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fator de potência. O fator de potência (FP) é a relação entre a potência real § e a potência aparente (S) em um sistema elétrico, dado por:
FP = cos theta
onde θ é o ângulo de fase entre a corrente e a tensão. Um FP menor que 1 indica que há presença de potência reativa no sistema.

Passo 3

A potência aparente S é dada por:
S = Vrms cdot Irms
E a potência real P é:
P = Vrms cdot Irms cdot cos theta
Podemos relacionar a corrente antes e depois da correção do fator de potência.

Passo 4

Antes da correção, temos:
P = Vrms cdot Ivelho cdot cos thetavelho
Depois da correção, com a capacitância C adicionada, o fator de potência melhora para θ_novo:
P = Vrms cdot Inovo cdot cos thetanovo

Passo 5

A diferença entre as correntes antes e depois da correção é devido à corrente fornecida pela capacitância. A reatância capacitiva X_C é:
XC = 1omega C
E a corrente capacitiva I_C é:
IC = Vrms cdot omega C

Passo 6

Para corrigi o fator de potência, a corrente capacitiva deve compensar a corrente indutiva existente. Assim, podemos relacionar as tangentes dos ângulos:
tan theta = IreativaIreal
Antes da correção:
tan thetavelho = Ireativa, velhoIreal
Depois da correção:
tan thetanovo = Ireativa, novoIreal

Passo 7

A corrente reativa após a correção é a diferença entre a corrente reativa original e a corrente capacitiva:
Ireativa, novo = Ireativa, velho - IC
Substituindo na equação anterior:
tan thetanovo = Ireativa, velho - ICIreal

Passo 8

Sabemos que:
Ireal = PVrms
E de antes:
Ireativa, velho = tan thetavelho cdot Ireal
Substituindo na equação do Passo 7:
tan thetanovo = tan thetavelho cdot Ireal - IC

Passo 9

Agora, substituímos I_C por sua expressão em termos de C:
tan thetanovo = tan thetavelho cdot PVrms - omega C Vrms
Resolvendo para C:
omega C Vrms = tan thetavelho cdot PVrms - tan thetanovo

Passo 10

Isolando C:
C = tan thetavelho cdot PVrms - tan thetanovoomega Vrms
Simplificando a expressão:
C = P tan thetavelho - tan thetanovoomega Vrms

Resposta

C=P tan thetavelho - tan thetanovoomega Vrms

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