Qual é a forma mais simples de escrever:
\frac{x^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{5} \cdot x \cdot x^{4}}{y^{7}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever de forma mais simples a expressão
\frac{x^{3}\cdot y^{2}\cdot y^{5}\cdot x\cdot x^{4}}{y^{7}}.
Informações dadas:
\text{numerador} = x^{3}\cdot y^{2}\cdot y^{5}\cdot x\cdot x^{4},
\text{denominador} = y^{7}.
O que se pede: simplificar essa fração e apresentar a forma mais simples possível.

Passo 2

Regra importante que vamos usar (produto de potências de mesma base):
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
onde a é a base (uma variável ou número) e m,n são expoentes inteiros. Isso significa que, quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes. Exemplo simples: \,x^{2}\cdot x^{3}=x^{2+3}=x^{5}.

Passo 3

Aplicando a regra do Passo 2 ao numerador, agrupamos os fatores com mesma base. Primeiro os x:
x^{3}\cdot x\cdot x^{4}=x^{3+1+4}=x^{8}.
Expliquei cada termo: o fator x sem expoente é x^{1}, por isso somei 1. Então o numerador fica, reorganizando,
x^{8}\cdot y^{2}\cdot y^{5}.

Passo 4

Agora aplicamos a mesma regra para y no numerador:
y^{2}\cdot y^{5}=y^{2+5}=y^{7}.
Assim o numerador completo é
x^{8}\cdot y^{7}.

Passo 5

Regra de divisão de potências de mesma base:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
válida quando a\neq 0. No nosso caso, temos \dfrac{y^{7}}{y^{7}}=y^{7-7}=y^{0}. Observação: como havia y^{7} no denominador original, estamos implicitamente assumindo y\neq 0, então a regra é aplicável.

Passo 6

Sabendo que, para qualquer base não nula, a^{0}=1, temos y^{0}=1. Portanto a expressão inteira simplifica para
\frac{x^{8}\cdot y^{7}}{y^{7}}=x^{8}\cdot y^{0}=x^{8}\cdot 1=x^{8}.

Passo 7

Verificação numérica rápida (só para dar confiança): escolha x=2 e y=3. O numerador original vira 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 3^{5}\cdot 2\cdot 2^{4}=2^{8}\cdot 3^{7} e o denominador é 3^{7}. Cancelando 3^{7} sobra 2^{8}, que é exatamente a avaliação de x^{8} para x=2. Isso confirma a simplificação.

Resposta

x^{8}

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