Qual é a forma mais simples de escrever:
(\mathrm{a} \cdot \mathrm{b})^{3} \cdot \mathrm{~b} \cdot(\mathrm{~b} \cdot \mathrm{c})^{2}

Passo 1

Temos que simplificar a expressão
(\,a\cdot b\,)^{3}\cdot \sim b \cdot(\,\sim b\cdot c\,)^{2}.
O que o enunciado pede é escrever essa expressão na forma mais simples possível. As informações que nos dão são as três partes multiplicadas: (a\cdot b)^{3}, \sim b e (\sim b\cdot c)^{2}.

Passo 2

Antes de operar, vamos listar e explicar, com calma, as propriedades que vamos usar — são regras sobre a operação \cdot (multiplicação/AND) e sobre o símbolo \sim (negação/complemento). Vou explicar cada uma como se estivéssemos na prova, para você decorar e aplicar rápido:
  1. Idempotência (repetição não muda o valor): para qualquer proposição/variável x,
x\cdot x = x.
Isso significa que multiplicar a mesma variável consigo mesmo não altera o resultado.
  1. Repetição em potência: consequência da idempotência. Se temos uma expressão y e fazemos y^n (produto de y consigo mesmo n vezes), então para n\ge 1
y^n = y.
Exemplo: (a\cdot b)^3 = (a\cdot b)\cdot(a\cdot b)\cdot(a\cdot b) = a\cdot b por idempotência.
  1. Complemento (contradição): para qualquer x,
x\cdot \sim x = 0.
Ou seja, uma variável e sua negação juntas dão sempre 0 (falso/contradição). E qualquer produto que contenha um fator 0 vira 0.
  1. Associatividade e comutatividade da multiplicação: podemos rearranjar e agrupar fatores como quisermos sem mudar o resultado. Isso nos permite juntar b e \sim b próximos para aplicar a regra 3.
Essas são as únicas regras necessárias aqui — simples e poderosas.

Passo 3

Aplicando a regra 2 (redução de potências) nas potências da expressão:
(\,a\cdot b\,)^{3} = a\cdot b
e
(\,\sim b\cdot c\,)^{2} = \sim b\cdot c.
Portanto a expressão original fica
(a\cdot b)\cdot \sim b \cdot (\sim b\cdot c).

Passo 4

Usando associatividade e comutatividade, reescrevemos agrupando os fatores semelhantes para visualizar melhor onde aplicar a regra do complemento:
(a\cdot b)\cdot \sim b \cdot (\sim b\cdot c) = a\cdot b\cdot \sim b \cdot \sim b \cdot c.
Agora observe que \sim b\cdot \sim b = \sim b (idempotência), mas o ponto crucial é que aparece o par b\cdot \sim b no produto.

Passo 5

Aplicamos a regra do complemento b\cdot \sim b = 0. Como o produto contém esse fator, o produto inteiro vale 0. Formalmente:
a\cdot b\cdot \sim b \cdot \sim b \cdot c = a \cdot (b\cdot \sim b) \cdot \sim b \cdot c = a \cdot 0 \cdot \sim b \cdot c = 0.
Aqui usei que qualquer coisa multiplicada por 0 é 0.

Resposta

0

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