Qual é a forma mais simples de escrever:
Passo 1
Temos que simplificar a expressão
O que o enunciado pede é escrever essa expressão na forma mais simples possível. As informações que nos dão são as três partes multiplicadas:
,
e
.
Passo 2
Antes de operar, vamos listar e explicar, com calma, as propriedades que vamos usar — são regras sobre a operação
(multiplicação/AND) e sobre o símbolo
(negação/complemento). Vou explicar cada uma como se estivéssemos na prova, para você decorar e aplicar rápido:
- Idempotência (repetição não muda o valor): para qualquer proposição/variável
,
Isso significa que multiplicar a mesma variável consigo mesmo não altera o resultado.
- Repetição em potência: consequência da idempotência. Se temos uma expressão
e fazemos (produto de consigo mesmo vezes), então para
Exemplo:
por idempotência.
- Complemento (contradição): para qualquer
,
Ou seja, uma variável e sua negação juntas dão sempre
(falso/contradição). E qualquer produto que contenha um fator
vira
.
- Associatividade e comutatividade da multiplicação: podemos rearranjar e agrupar fatores como quisermos sem mudar o resultado. Isso nos permite juntar
e próximos para aplicar a regra 3.
Essas são as únicas regras necessárias aqui — simples e poderosas.
Passo 3
Aplicando a regra 2 (redução de potências) nas potências da expressão:
e
Portanto a expressão original fica
Passo 4
Usando associatividade e comutatividade, reescrevemos agrupando os fatores semelhantes para visualizar melhor onde aplicar a regra do complemento:
Agora observe que
(idempotência), mas o ponto crucial é que aparece o par
no produto.
Passo 5
Aplicamos a regra do complemento
. Como o produto contém esse fator, o produto inteiro vale
. Formalmente:
Aqui usei que qualquer coisa multiplicada por
é
.