Formar ùma equação diferencial da família de curvas
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
onde
é uma constante arbitrária. O que se pede é formar uma equação diferencial que represente essa família, isto é, eliminar o parâmetro
e obter uma equação diferencial que todas essas curvas satisfaçam.
Informações relevantes:
- A família contém exatamente uma constante arbitrária (
). - Portanto a equação diferencial buscada terá ordem
(uma derivada), já que para eliminar uma constante normalmente diferenciamos uma vez.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e simples): quando uma família de curvas depende de
constantes arbitrárias, obtém-se uma equação diferencial de ordem
eliminando essas constantes. Aqui
, então vou diferenciar a expressão uma vez em relação a
e usar a igualdade original para eliminar
.
Antes de calcular, lembretes úteis:
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então . Ou seja, derivar uma exponencial é derivar o expoente e multiplicar pela própria exponencial. - Derivada de uma constante é zero:
.
Passo 3
Vamos diferenciar a função dada passo a passo. O expoente é
. Calculando sua derivada:
Usando a regra da cadeia para
, obtemos:
Passo 4
Agora eliminamos o parâmetro
. Observamos que a própria função original dá
Substituindo essa expressão na fórmula da derivada encontrada no passo anterior, obtemos:
Passo 5
Colocando a equação em forma padrão, podemos escrever de duas maneiras equivalentes:
Essa é a equação diferencial de primeira ordem cuja solução geral é exatamente a família dada.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): resolver a equação diferencial obtida por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
que tem a mesma forma da família original (basta identificar
). Assim a equação diferencial encontrada é correta.