Formar ùma equação diferencial da família de curvas
(a) y=e^{\frac{x^{2}}{2}+a}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y = e^{\frac{x^{2}}{2} + a},
onde a é uma constante arbitrária. O que se pede é formar uma equação diferencial que represente essa família, isto é, eliminar o parâmetro a e obter uma equação diferencial que todas essas curvas satisfaçam.
Informações relevantes:
  • A família contém exatamente uma constante arbitrária ( a).
  • Portanto a equação diferencial buscada terá ordem 1 (uma derivada), já que para eliminar uma constante normalmente diferenciamos uma vez.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e simples): quando uma família de curvas depende de n constantes arbitrárias, obtém-se uma equação diferencial de ordem n eliminando essas constantes. Aqui n=1, então vou diferenciar a expressão uma vez em relação a x e usar a igualdade original para eliminar a.
Antes de calcular, lembretes úteis:
  • Regra da cadeia para exponencial: se y=e^{u(x)}, então \dfrac{dy}{dx}=u'(x)\,e^{u(x)}. Ou seja, derivar uma exponencial é derivar o expoente e multiplicar pela própria exponencial.
  • Derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}a=0.

Passo 3

Vamos diferenciar a função dada passo a passo. O expoente é \dfrac{x^{2}}{2}+a. Calculando sua derivada:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+a\right)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+\frac{d}{dx}a = x + 0 = x.
Usando a regra da cadeia para y=e^{\frac{x^{2}}{2}+a}, obtemos:
\frac{dy}{dx} = x\,e^{\frac{x^{2}}{2}+a}.

Passo 4

Agora eliminamos o parâmetro a. Observamos que a própria função original dá
e^{\frac{x^{2}}{2}+a}=y.
Substituindo essa expressão na fórmula da derivada encontrada no passo anterior, obtemos:
\frac{dy}{dx} = x\,y.

Passo 5

Colocando a equação em forma padrão, podemos escrever de duas maneiras equivalentes:
\frac{dy}{dx}=x\,y \qquad\text{ou}\qquad \frac{dy}{dx}-x\,y=0.
Essa é a equação diferencial de primeira ordem cuja solução geral é exatamente a família dada.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): resolver a equação diferencial obtida por separação de variáveis:
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx.
Integrando ambos os lados:
\ln y = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
y = e^{\frac{x^{2}}{2}+C},
que tem a mesma forma da família original (basta identificar C=a). Assim a equação diferencial encontrada é correta.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=x\,y

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