Verifique se as funções propostas são soluções das EDO’s apresentadas:
y^{\prime \prime}-y=0.
Possíveis soluções: y_{1}(x)=e^{-x}, y_{2}(x)=k e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções propostas são soluções da equação diferencial ordinária
y''-y=0.
As funções propostas são:
  • y_{1}(x)=e^{-x}.
  • y_{2}(x)=k e^{x}, onde k é uma constante (não foi especificado, então assumir k real constante).
O que se deve fazer: para cada função, calcular as derivadas necessárias, substituir na equação y''-y e checar se o resultado é zero. Se for zero para todo x no domínio considerado, a função é solução.

Passo 2

Como vamos proceder (uma mini-aula útil para a prova). Para uma EDO do tipo linear homogênea com coeficientes constantes como
y''-y=0,
uma maneira direta de verificar se uma função y(x) é solução é substituir y, y' e y'' na expressão \,y''-y\, e ver se ela se anula. Lembre que:
  • A derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}.
  • A derivada segunda de e^{ax} é a^{2} e^{ax}.
Portanto, para funções exponenciais da forma C e^{ax} (com C constante), as derivadas são fáceis de calcular e a substituição costuma cancelar termos. Isso é exatamente o que vamos usar.

Passo 3

Verificação de y_{1}(x)=e^{-x}.
Calcule as derivadas:
y_{1}(x)=e^{-x}
y_{1}'(x) = -e^{-x}
y_{1}''(x) = (-1)^{2} e^{-x} = e^{-x}
Agora substitua na equação \,y''-y\,:
y_{1}''(x)-y_{1}(x)=e^{-x}-e^{-x}=0.
Como a expressão fica identicamente zero para todo x, concluímos que y_{1}(x)=e^{-x} é solução da EDO.

Passo 4

Verificação de y_{2}(x)=k e^{x} (com k constante).
Calcule as derivadas (usar a regra da derivada de exponencial e fator constante):
y_{2}(x)=k e^{x}
y_{2}'(x)=k e^{x}
y_{2}''(x)=k e^{x}
Substituindo na equação:
y_{2}''(x)-y_{2}(x)=k e^{x}-k e^{x}=0.
A expressão também se anula para todo x e para qualquer constante k. Portanto y_{2}(x)=k e^{x} é solução para todo k\in\mathbb{R}.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): a EDO tem equação característica
r^{2}-1=0,
cuja solução é r=\pm 1. Por isso a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
com C_{1},C_{2} constantes. Isso explica por que e^{-x} e qualquer múltiplo de e^{x} aparecem naturalmente como soluções. Além disso, por linearidade, combinações lineares dessas soluções também são soluções.

Resposta

y_{1}(x)=e^{-x} é solução da EDO.
y_{2}(x)=k e^{x} é solução da EDO para qualquer constante k.

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