Verifique se as funções propostas são soluções das EDO’s apresentadas:
.
Possíveis soluções:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções propostas são soluções da equação diferencial ordinária
As funções propostas são:
-
. -
, onde é uma constante (não foi especificado, então assumir real constante).
O que se deve fazer: para cada função, calcular as derivadas necessárias, substituir na equação
e checar se o resultado é zero. Se for zero para todo
no domínio considerado, a função é solução.
Passo 2
Como vamos proceder (uma mini-aula útil para a prova). Para uma EDO do tipo linear homogênea com coeficientes constantes como
uma maneira direta de verificar se uma função
é solução é substituir
,
e
na expressão
e ver se ela se anula. Lembre que:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada segunda de
é .
Portanto, para funções exponenciais da forma
(com
constante), as derivadas são fáceis de calcular e a substituição costuma cancelar termos. Isso é exatamente o que vamos usar.
Passo 3
Verificação de
.
Calcule as derivadas:
Agora substitua na equação
:
Como a expressão fica identicamente zero para todo
, concluímos que
é solução da EDO.
Passo 4
Verificação de
(com
constante).
Calcule as derivadas (usar a regra da derivada de exponencial e fator constante):
Substituindo na equação:
A expressão também se anula para todo
e para qualquer constante
. Portanto
é solução para todo
.
Passo 5
Comentário adicional (útil para a prova): a EDO tem equação característica
cuja solução é
. Por isso a solução geral da EDO é
com
constantes. Isso explica por que
e qualquer múltiplo de
aparecem naturalmente como soluções. Além disso, por linearidade, combinações lineares dessas soluções também são soluções.