Verifique, em cada um dos seguintes exercícios, se a série dada é convergente. Em caso afirmativo, se absoluta ou condicionalmente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente. Se for convergente, devo dizer se a convergência é absoluta ou condicional.
Informações dadas explicitamente:
- O termo geral é
com - Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos estudar o comportamento de
quando
(isso é obrigatório para aplicar testes de séries alternadas e de comparação).
Escrevendo
para simplificar, temos
Dividindo numerador e denominador por
,
Como
quando
, nota-se que
. Portanto
Conclusão: os módulos dos termos
tendem a zero, condição necessária para convergência de qualquer série.
Passo 3
Para poder aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada), além de
precisamos que a sequência
seja monótona não crescente a partir de algum
(ou seja, eventual monotonia decrescente). Vou mostrar que
é decrescente para todo
.
Novamente use
e considere a função
Calculamos a derivada
para verificar o sinal:
No numerador temos
para todo
. O denominador
é positivo para
. Logo
para todo
. Assim
é estritamente decrescente em
, o que implica que a sequência
é estritamente decrescente para
.
Portanto,
é positiva, decrescente e tende a zero.
Passo 4
Agora aplicamos o critério de Leibniz (teste da série alternada):
Teorema (Leibniz): se
é uma sequência positiva, decrescente e
, então a série
converge.
Já verificamos as hipóteses:
,
decrescente e
. Logo a série dada converge.
Passo 5
Agora devemos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso analisamos a série dos módulos
Mostraremos que essa série diverge, o que implica que a convergência da série original é condicional.
Como já escrevemos,
Para
grande,
, então
é assintoticamente equivalente a
. Mais precisamente,
pois
e
. Assim
Agora usamos o teste da comparação limite com a série p:
- A série
é uma série p com , portanto diverge. - Como
(constante positiva), pela comparação-limite a série também diverge.
Portanto a série dos módulos diverge, ou seja, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Juntando os resultados:
- A série
converge (teste de Leibniz). - A série dos módulos
diverge (comparação com ).
Conclusão: a convergência é condicional.
Resposta
Converge condicionalmente.