Verifique, em cada um dos seguintes exercícios, se a série dada é convergente. Em caso afirmativo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n+1}{(n+1) \sqrt{n+1}-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+1}{(n+1)\sqrt{n+1}-1}
é convergente. Se for convergente, devo dizer se a convergência é absoluta ou condicional.
Informações dadas explicitamente:
  • O termo geral é (-1)^{n} b_{n} com b_{n}=\frac{n+1}{(n+1)\sqrt{n+1}-1}.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos estudar o comportamento de b_{n} quando n\to\infty (isso é obrigatório para aplicar testes de séries alternadas e de comparação).
Escrevendo t=n+1 para simplificar, temos
b_{n}=\frac{t}{t\sqrt{t}-1}=\frac{t}{t^{3/2}-1}.
Dividindo numerador e denominador por t^{3/2},
b_{n}=\frac{1}{\sqrt{t}}\cdot\frac{1}{1-t^{-3/2}}.
Como t=n+1\to\infty quando n\to\infty, nota-se que t^{-3/2}\to0. Portanto
\lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}\cdot\frac{1}{1-t^{-3/2}}=0.
Conclusão: os módulos dos termos b_{n} tendem a zero, condição necessária para convergência de qualquer série.

Passo 3

Para poder aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada), além de b_{n}\to0 precisamos que a sequência (b_{n}) seja monótona não crescente a partir de algum n (ou seja, eventual monotonia decrescente). Vou mostrar que b_{n} é decrescente para todo n\ge1.
Novamente use t=n+1 e considere a função
g(t)=\frac{t}{t^{3/2}-1},\qquad t>1.
Calculamos a derivada g'(t) para verificar o sinal:
g'(t)=\frac{(t^{3/2}-1)\cdot 1 - t\cdot\frac{3}{2}t^{1/2}}{(t^{3/2}-1)^{2}} =\frac{t^{3/2}-1-\tfrac{3}{2}t^{3/2}}{(t^{3/2}-1)^{2}} =\frac{-\tfrac{1}{2}t^{3/2}-1}{(t^{3/2}-1)^{2}}.
No numerador temos -\tfrac{1}{2}t^{3/2}-1<0 para todo t>0. O denominador (t^{3/2}-1)^{2} é positivo para t>1. Logo g'(t)<0 para todo t>1. Assim g é estritamente decrescente em t>1, o que implica que a sequência b_{n}=g(n+1) é estritamente decrescente para n\ge1.
Portanto, b_{n} é positiva, decrescente e tende a zero.

Passo 4

Agora aplicamos o critério de Leibniz (teste da série alternada):
Teorema (Leibniz): se (b_{n}) é uma sequência positiva, decrescente e b_{n}\to0, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} b_{n}
converge.
Já verificamos as hipóteses: b_{n}>0, b_{n} decrescente e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. Logo a série dada converge.

Passo 5

Agora devemos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso analisamos a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{(n+1)\sqrt{n+1}-1}.
Mostraremos que essa série diverge, o que implica que a convergência da série original é condicional.
Como já escrevemos,
b_{n}=\frac{t}{t^{3/2}-1}=\frac{1}{\sqrt{t}}\cdot\frac{1}{1-t^{-3/2}},\qquad t=n+1.
Para t grande, 1-t^{-3/2}\to1, então b_{n} é assintoticamente equivalente a 1/\sqrt{t}. Mais precisamente,
\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\,b_{n} =\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{t}}\cdot\frac{1}{1-t^{-3/2}}=1,
pois \sqrt{n}/\sqrt{t}\to1 e 1/(1-t^{-3/2})\to1. Assim
b_{n}\sim\frac{1}{\sqrt{n}}\quad(n\to\infty).
Agora usamos o teste da comparação limite com a série p:
  • A série \sum 1/\sqrt{n}=\sum n^{-1/2} é uma série p com p=\tfrac{1}{2}\le1, portanto diverge.
  • Como \lim_{n\to\infty} b_{n}/(n^{-1/2})=1 (constante positiva), pela comparação-limite a série \sum b_{n} também diverge.
Portanto a série dos módulos diverge, ou seja, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • A série \sum (-1)^{n}b_{n} converge (teste de Leibniz).
  • A série dos módulos \sum b_{n} diverge (comparação com n^{-1/2}).
Conclusão: a convergência é condicional.

Resposta

Converge condicionalmente.

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