Questão 1. (3,0 pontos) Calcule cada integral.
integral0^pi / 6 t sen(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de $ t \cdot \sin(t) $ no intervalo de 0 até $ \frac{\pi}{6} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração por partes. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona essa técnica de integração que ajuda quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual parte da integral será $ u $ e qual será $ dv $ na fórmula da integração por partes. A fórmula que vamos usar é:
u
No nosso caso, vamos escolher:
  • $ u = t $ (porque a derivada de $ t $ é mais simples)
  • $ dv = \sin(t) , dt $

Passo 3

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
  • Derivando $ u $:
du
  • Integrando $ dv $ para encontrar $ v $:
v

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t cdot sin(t) , dt = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= t cdot (-cos(t)) - integral (-cos(t)) cdot 1 , dt
= -t cos(t) + integral cos(t) , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar $ \cos(t) $:
cos(t)
Então, nossa expressão fica:
integral cos(t) , dt = sin(t)
Como estamos calculando uma integral definida de 0 até $ \frac{\pi}{6} $, o constante $ C $ não é necessário.

Passo 6

Vamos agora aplicar os limites de integração:
[ -t cos(t) + sin(t) ]0^pi6 = ( -pi6 cos(pi6) + sin(pi6) ) - ( -0 cdot cos(0) + sin(0) )
Simplificando:
= -pi6 cdot raiz32 + 12 - 0
= -pi raiz312 + 12

Resposta

A integral vale $ \frac{1}{2} - \frac{\pi \sqrt{3}}{12} $, ou aproximadamente 0,068.

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