Questão 1. (3,0 pontos) Calcule cada integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de $ t \cdot \sin(t) $ no intervalo de 0 até $ \frac{\pi}{6} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração por partes. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona essa técnica de integração que ajuda quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual parte da integral será $ u $ e qual será $ dv $ na fórmula da integração por partes. A fórmula que vamos usar é:
No nosso caso, vamos escolher:
- $ u = t $ (porque a derivada de $ t $ é mais simples)
- $ dv = \sin(t) , dt $
Passo 3
Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
- Derivando $ u $:
- Integrando $ dv $ para encontrar $ v $:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ \cos(t) $:
Então, nossa expressão fica:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 até $ \frac{\pi}{6} $, o constante $ C $ não é necessário.
Passo 6
Vamos agora aplicar os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
A integral vale $ \frac{1}{2} - \frac{\pi \sqrt{3}}{12} $, ou aproximadamente 0,068.