Calcule
onde
é a elipse
orientada no sentido anti-horário. Note que não se aplica o teorema de Green. (Sugestão: Use o teorema de Green com furos)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
em que
é a elipse
orientada no sentido anti-horário. Como o campo
é singular na origem, não podemos usar Green diretamente. A ideia é aplicar o teorema de Green num anel formado pela região interna à elipse menos um pequeno disco de raio
centrado na origem.
Passo 2
Vamos verificar o “rotacional”
Cálculo rápido mostra que ambas as derivadas são iguais a
logo
em toda parte fora da origem. Pelo teorema de Green num domínio com furo, temos
onde
é o círculo de raio
orientado no sentido horário.
Passo 3
Da igualdade acima segue
mas como em
adotamos orientação horário, inverte-se o sinal se quisermos a orientação anti-horário. Portanto
com
agora percorrido no sentido anti-horário.
Passo 4
Parametrizamos o pequeno círculo por
Então
,
e
. No numerador de
aparece
O denominador é
, então o integrando fica
. Assim