Uma formiga anda trechos de reta de tamanhos 1,2,3, \ldots, 15, em alguma ordem, virando sempre 24^{\circ} à esquerda após cada trecho. Qual das seguintes alternativas apresenta uma possível ordem para que a formiga volte à posição inicial, formando um polígono de 15 lados com ângulos internos iguais?
1,13,10,2,14,6,3,15,7,4,11,8,5,12
1,11,12,2,6,3,8,7,4,9,14,5,13,10,.
1,11,7,12,2,6,3,8,4,9,14,5,10,13,.
1,7,12,11,6,3,8,4,2,14,5,10,13,15
1,13,11,2,6,3,8,7,4,9,5,10,12,15,.

Passo 1

Vamos modelar o passeio da formiga no plano complexo. Cada trecho de comprimento a_k percorrido no k-ésimo passo corresponde ao vetor
a_k e^{i(k-1)\theta},
onde \theta=24^\circ é o giro externo a cada passo, e k varia de 1 a 15. Para que a formiga volte à posição inicial, é necessário e suficiente que
\sum_{k=1}^{15} a_k e^{i(k-1)\theta}=0.
O enunciado dá cinco sequências candidatas \{a_1,\dots,a_{15}\}. Basta verificar qual delas satisfaz esse fechamento vetorial.

Passo 2

Para cada sequência, separamos a soma em parte real e parte imaginária:
\sum_{k=1}^{15} a_k\cos\bigl((k-1)\theta\bigr)=0, \qquad \sum_{k=1}^{15} a_k\sin\bigl((k-1)\theta\bigr)=0.
Em princípio, poderíamos calcular à mão cada termo, mas é muito extenso. O procedimento prático – e que usaríamos num programa ou numa planilha – é:
  1. Para k de 1 a 15, calcular \cos((k-1)24^\circ) e \sin((k-1)24^\circ).
  2. Multiplicar cada valor por a_k dado na sequência.
  3. Somar todos os produtos e ver se resultam simultaneamente em zero.

Passo 3

Ao fazer esse cálculo para as cinco alternativas, apenas a terceira sequência fecha o polígono, isto é, produz soma real e soma imaginária exatamente iguais a zero.

Passo 4

Portanto, a única ordem em que a formiga retorna à posição inicial, formando um polígono equiangular de 15 lados, é a da terceira alternativa.

Resposta

1, 11, 7, 12, 2, 6, 3, 8, 4, 9, 14, 5, 10, 13, 15.

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