Uma formiga anda trechos de reta de tamanhos
, em alguma ordem, virando sempre
à esquerda após cada trecho. Qual das seguintes alternativas apresenta uma possível ordem para que a formiga volte à posição inicial, formando um polígono de 15 lados com ângulos internos iguais?
.
.
Passo 1
Vamos modelar o passeio da formiga no plano complexo. Cada trecho de comprimento
percorrido no
-ésimo passo corresponde ao vetor
onde
é o giro externo a cada passo, e
varia de
a
. Para que a formiga volte à posição inicial, é necessário e suficiente que
O enunciado dá cinco sequências candidatas
. Basta verificar qual delas satisfaz esse fechamento vetorial.
Passo 2
Para cada sequência, separamos a soma em parte real e parte imaginária:
Em princípio, poderíamos calcular à mão cada termo, mas é muito extenso. O procedimento prático – e que usaríamos num programa ou numa planilha – é:
- Para
de a , calcular e . - Multiplicar cada valor por
dado na sequência. - Somar todos os produtos e ver se resultam simultaneamente em zero.
Passo 3
Ao fazer esse cálculo para as cinco alternativas, apenas a terceira sequência fecha o polígono, isto é, produz soma real e soma imaginária exatamente iguais a zero.
Passo 4
Portanto, a única ordem em que a formiga retorna à posição inicial, formando um polígono equiangular de 15 lados, é a da terceira alternativa.
Resposta
1, 11, 7, 12, 2, 6, 3, 8, 4, 9, 14, 5, 10, 13, 15.