Questão 6
Ainda não respondida
Vale 1,0 ponto(s).
『 Marcar questão
O volume do elipsóide de equação 66 x^{2}+67 y^{2}+z^{2}=4422 é da forma N \pi para algum inteiro N. Qual o valor de N ?

Passo 1

O enunciado pede o volume do elipsóide de equação
66x^2 + 67y^2 + z^2 = 4422.
O conteúdo é cálculo de volume de elipsóide, usando a fórmula
V = \frac{4}{3}\,\pi\,a\,b\,c,
onde a, b e c são os comprimentos dos semieixos.

Passo 2

Para colocar na forma padrão
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
dividimos tudo por 4422:
\frac{x^2}{4422/66} + \frac{y^2}{4422/67} + \frac{z^2}{4422/1} = 1.
Logo
a^2 = \frac{4422}{66} = 67,\quad b^2 = \frac{4422}{67} = 66,\quad c^2 = 4422,
isto é, a=\sqrt{67}, b=\sqrt{66} e c=\sqrt{4422}.

Passo 3

Para aplicar V=\tfrac{4}{3}\pi abc precisamos de abc. Observe que
a^2b^2c^2 = 67\cdot 66 \cdot 4422 = (66\cdot 67)^2,
portanto
abc = 66\cdot 67 = 4422.

Passo 4

Substituindo em V:
V = \frac{4}{3}\,\pi \cdot 4422 = \frac{4\cdot 4422}{3}\,\pi = 5896\,\pi.

Resposta

5896

Exercícios relacionados