Questão 02 (0,4 ponto)

Considere a função w=f(x, y, z)=x^{2} y^{2} z^{2}+\frac{1}{x y z}. Verifique se a função f(x, y, z) satisfaz a equação:
x^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+y^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+z^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=6 w

Passo 1

O enunciado dá a função
w = f(x,y,z) = x^{2}y^{2}z^{2} + \frac{1}{x y z}
e pede para verificar se ela satisfaz a equação
x^{2}\,\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} \;+\; y^{2}\,\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \;+\; z^{2}\,\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} \;=\;6\,w.
Para isso, vamos usar a regra do poder para derivadas e a derivada de função recíproca.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em x. Primeiro:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{2}z^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\Bigl((x y z)^{-1}\Bigr) = 2x\,y^{2}z^{2} - (x y z)^{-2}\,y z = 2x\,y^{2}z^{2} \;-\;\frac{1}{x^{2}y z}.
Em seguida,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(2x\,y^{2}z^{2}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}y z}\Bigr) = 2\,y^{2}z^{2} + 2\,\frac{1}{x^{3}y z}.
Multiplicando por x^{2} obtemos
x^{2}\,\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = 2\,x^{2}y^{2}z^{2} \;+\; 2\,\frac{x^{2}}{x^{3}y z} = 2\,x^{2}y^{2}z^{2} \;+\;\frac{2}{x y z}.

Passo 3

Por simetria dos papéis de x,y,z, os cálculos para y e z dão resultados análogos:
y^{2}\,\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 2\,x^{2}y^{2}z^{2} \;+\;\frac{2}{x y z}, \qquad z^{2}\,\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} = 2\,x^{2}y^{2}z^{2} \;+\;\frac{2}{x y z}.

Passo 4

Somando as três parcelas:
x^{2}f_{xx} + y^{2}f_{yy} + z^{2}f_{zz} = 3\bigl(2\,x^{2}y^{2}z^{2}\bigr) \;+\; 3\bigl(\tfrac{2}{x y z}\bigr) = 6\,x^{2}y^{2}z^{2} \;+\; \frac{6}{x y z} = 6\Bigl(x^{2}y^{2}z^{2} + \tfrac{1}{x y z}\Bigr) = 6\,w.
Portanto, a igualdade exigida é satisfeita.

Resposta

A função satisfaz a equação, pois
x^{2}f_{xx} + y^{2}f_{yy} + z^{2}f_{zz} = 6\,w.

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